3ª Aula Prática

10 março 2017, 12:30 • Ricardo Coutinho

Discussão e resolução de exercícios; ficha 3.

10ª Aula - Revisão de conjuntos abertos ou fechados relativamente a um conjunto que os contém e caracterização topológica de continuidade. Exemplos de conjuntos abertos ou fechados relativamente a conjunto que os contém e propriedades gerais de conjuntos relativamente abertos ou fechados. Aplicações de pré-imagens de conjuntos abertos (resp., fechados) por funções contínuas serem conjuntos abertos (resp., fechados) relativamente ao domínio. Revisão de diferenciabilidade e derivada de funções reais de variável real e definição de diferenciabilidade e derivada de n variáveis reais com valores em ℝm

10 março 2017, 11:30 • Luis Magalhães

Revisão: Conjuntos abertos ou fechados relativamente a um conjunto que os contém. Caracterização topológica de continuidade.

Exemplos: Conjuntos S_i , D_j ,⊂ℝ², (i,j=1,...,4) com S_i⊂D_j , tais que:
(1) S₁ não é aberto nem fechado em ℝ², é aberto e não fechado relativamente a D₁, é fechado e não aberto relativamente a D₂, e é aberto e fechado relativamente a S₁
(2) S₂ é fechado em ℝ², é fechado e não aberto relativamente a D₁ e D₃, e é aberto e fechado relativamente a S₂.
(3) S₃ não é aberto nem fechado em ℝ², é fechado relat. a D₄, é aberto relativamente a D₃, e é aberto e fechado relativamente a S₃.
(3) S₃ é aberto em ℝ², é aberto e não fechado relat. a D₃ e a D₄, e é aberto e fechado relativamente a S₃.

Proposições: Seja D⊂ℝⁿ.
(1) D é aberto e fechado relativamente a D . (D e ∅ são os únicos subconjuntos de D abertos e fechados relativamente a D ).
(2) Se D é aberto (resp. fechado), então S⊂D é aberto (resp.. fechado) relativamente a D se e só se S é aberto (resp. fechado) em ℝⁿ. 
(3) S⊂D é aberto (resp. fechado) relativamente a D se e só se D\S é fechado (respect. aberto) relativamente a D . 
(4) Uniões (resp. intersecções) de subconjuntos de ℝⁿ abertos (resp. fechados) relativamente a um D⊂ℝⁿ são conjuntos abertos (resp. fechados) relativamente a D ; 
(5) Intersecções (resp. uniões) finitas de subconjuntos de ℝⁿ abertos (resp. fechados) relativamente a um D⊂ℝⁿ são conjuntos abertos (resp. fechados) relativamente a D .
(6) Preimagens por função contínua de conjuntos fechados são conjuntos fechados relativamente ao domínio da função.

Observação: Se D⊂ℝⁿ é aberto (resp. fechado), então os subconjuntos de D abertos (resp. fechados) relativamente a D são os abertos (resp. fechados) em ℝⁿ.

Exemplo: Identificação de que um conjunto é aberto (resp., fechado) por ser a pré-imagem de um conjunto aberto (res., fechado) por uma função contínua definida num conjunto aberto (conjuntos de nível são fechados em relação ao domínio, conjuntos de sub- ou sobre- nível estrito (resp., lato) são abertos (resp., fechado) relativamente ao domínio.

Proposição: Conjuntos de nível e gráficos de funções contínuas de D⊂ℝⁿ em ℝ^m são fechados relativamente a, resp., D e Dxℝ^m; se D é fechado são subconjuntos fechados de, resp., ℝⁿ e ℝ^n+m. 

Exemplos: Identificação de conjuntos abertos ou fechados definidos por condições envolvendo funções contínuas, em particular, conjuntos de nível, sub- e sobre- nível e sde campos escalares contínuos (exemplos de gráfico de um campo escalar contínuo em ℝ² e da superfície de um tóro ("doughnut") em ℝ³ descrito por uma equação cartesiana). 

Revisão: Definição de derivada e de fórmula de Taylor de 1ª ordem para função real de variável real e que diferenciabilidade equivale a existência de recta tangente com declive finito (que dá uma aproximação da função que dá acréscimos de valores da função em termos de acréscimos da variável independente por uma transformação linear, a menos de um erro que tende para 0 em ordem superior a 1 quando o acréscimo na variável independente tende para 0 ).

Observação: Existência de derivada para funções de n variáveis reais num ponto corresponde a existência de plano-n tangente ao gráfico da função no ponto correspondente; a derivada no ponto é a transformação linear cujo gráfico é a translação do plano tangente ao gráfico da função para a origem.

Definições: Função com valores em ℝⁿ e variáveis em ℝ^m diferenciável num ponto interior do domínio (definida a partir de fórmula de Taylor de 1ª ordem), a derivada de função f em ponto a (é uma transformação linear f'(a)∈L(ℝⁿ,ℝ^m) .

Observação: Com esta definição a derivada de função real de variável real é a transformação linear em ℝ com representação matricial na base canónica [m] em que m é o declive da recta tangente (ou seja o valor numérico da derivada clássica da função real de variável real).

9ª Aula - Revisão dos aspectos principais da aula anterior. Caracterização topológica de continuidade, preimagens de subconjuntos de espaços de chegada de funções, conjuntos abertos e fechados relativamente a um conjunto que os contém, exemplos.

9 março 2017, 13:00 • Luis Magalhães

Revisão: Somas, produtos (inclusivamente interno e externo), quocientes por campos escalares em pontos em que o denominador é ≠0 ou composições de funções contínuas são funções contínuas.

Proposição: Composições fog de campos escalares ou vectoriais g contínuo num ponto a e f contínuo em g(a) são contínuos em a .

Exemplos: Determinação de domínio, conjunto de pontos de continuidade e conjunto máximo de extensão por continuidade de campos escalares, com aplicação das propriedades de continuidade com operações. Exemplos de funções que sobre todas as rectas que passam num ponto de acumulação do domínio convergem para um mesmo valor, mas sem limite no ponto.

Caracterização topológica de continuidade de f:D→ℝ^m, com D⊂ℝⁿ.

Ilustração gráfica da ideia, 
Definições: 
(1) Preimagem ou imagem inversa de conjunto A⊂ℝ^m por f é f^-1(A)={x∈D: f(x)∈A} ; 
(2) Diz-se que S⊂D⊂ℝⁿ é aberto (resp. fechado) relativamente a D se existe um conjunto aberto (resp. fechado) U⊂ℝⁿ tal que S=U∩D.

Proposição: f:D→ℝ^m com D⊂ℝⁿ é contínua se e só se preimagens de subconjuntos abertos de ℝ^m são conjuntos abertos relativamente a D.

Observações: 
(1) Este resultado é uma caracterização topológica de continuidade. Pode ser adoptada para estender a definição de funções contínuas a espaços topológicos não métricos.
(2) O resultado pode ser aplicado para determinação de conjuntos abertos ou fechados com base em funções contínuas.
(3) Uma função pode não ser invertível, mas existem sempre preimagens dos subconjuntos do respectivo espaço de chegada. Uma função é invertível se e só se as preimagens de subconjuntos singulares do espaço de chegada não vazias são subconjuntos singulares do domínio.

Exemplos: 
(1) Intervalo em ℝ que não é aberto nem fechado e é aberto relativamente a um intervalo que o contém e fechado relativamente a outro intervalo que o contém; 
(2) Conjunto em ℝ² que não é aberto nem fechado em ℝ² e é aberto relativamente a um D₁⊂ℝ². 

Proposições: Seja D⊂ℝⁿ.
(1) D é aberto e fechado relativamente a D . D e ∅ são os únicos subconjuntos de D abertos e fechados relativamente a D .

Exemplos: 
(1) Intervalo em ℝ que não é aberto nem fechado e é aberto relativamente a um intervalo que o contém e fechado relativamente a outro intervalo que o contém; 
(2) Conjunto em ℝ² que não é aberto nem fechado em ℝ² e é aberto relativamente a um D₁⊂ℝ². 

Proposições: 
(1) D⊂ℝⁿ é aberto e fechado relativamente a D . D⊂ℝⁿ e ∅ são os únicos subconjuntos de D abertos e fechados relativamente a D .
(2) Se D é aberto (resp. fechado), então S⊂D é aberto (resp.. fechado) relativamente a D se e só se S é aberto (resp. fechado) em ℝⁿ. .

Exercícios da ficha 2

8 março 2017, 11:30 • Manuel Paulo de Oliveira Ricou

Ficha 2 (CDI-2): 2 (f), 3 (todos)

8ª Aula  - Revisão: Continuidade de transformações lineares e definição de funções polinomiais de várias variáveis reais. Limites iterados e exemplos de aplicação. Continuidade de somas, produtos (incluindo produto interno e externo) e quocientes por campos escalares em pontos em que denominador não é nulo.

7 março 2017, 11:30 • Luis Magalhães

Revisão: Transformações lineares de ℝⁿ em ℝ^m são contínuas em ℝⁿ. Polinómios em várias variáveis reais.

Observação: Exemplo de utilização de coordenadas polares para determinação de não existência ou existência e valor de limite na origem de campo escalar.

Limites iterados: Definição;  se existem limites iterados num ponto diferentes, então a função não tem limite nesse ponto; se os limites iterados num ponto existem e são todos iguais, a função pode ter ou não limite no ponto (mas o candidato a limite é o valor dos limites iterados); exemplos concretos de campos escalares em subconjuntos de ℝ² com limites iterados diferentes num ponto, com limites iterados iguais num ponto mas sem limite no ponto, e com limites iterados iguais num ponto mas com limite no ponto.

Proposições:
(1) Somas, produtos e quocientes de campos escalares contínuos num ponto a (no caso de quocientes com denominador ≠0 em a) são contínuos em a ;
(2) Somas, produtos por escalares, produtos internos e produtos externos de campos vectoriais com valores em ℝ^m contínuos num ponto a (no caso do produto externo com m=3)  são contínuos em a .

Exemplos: Continuidade de campos escalares concretos em ℝⁿ, incluindo continuidade  de polinómios em n variáveis reais.