4ª Aula Prática

17 março 2017, 12:30 • Ricardo Coutinho

Discussão e resolução de exercícios; ficha 4. Mini-teste.

Exercícios Ficha 3 (CCDI-2)

17 março 2017, 12:30 • Manuel Paulo de Oliveira Ricou

Exercícios da ficha 3 de CCDI-2.

14ª Aula - Revisão de derivada segundo vector e derivada direccional, e exemplo. Curvas. Descrição geométrica de gradiante de um campo escalar. Equações cartesianas de planos tangentes a conjuntos de nível de campos escalares com derivada não nula no ponto de tangência; exemplo de cálculo de planos tangentes a conjunto de nível e a gráfico de função. Coordenadas polares, cilíndricas e esféricas e aplicação da regra de derivação da função composta para determinar derivadas parciais de campos escalares num destes sistemas de coordenadas

17 março 2017, 11:30 • Luis Magalhães

Revisão: Definição, propriedades e interpretação geométrica de derivada de campo escalar ou vectorial num ponto segundo um vector e de derivada direccional, e relação com a derivada de uma função diferenciável no ponto; exemplo com um campo escalar racional em ℝ² não diferenciável na origem e com derivada direccional na origem em todas as direcções, mas tendendo para infinito numa direcção.

Definição: Chama-se curva em D⊂ℝⁿ ao contradomínio de uma função contínua g:I→D em que I é um intervalo em ℝ e diz-se que g é uma representação paramétrica ou um caminho que representa a curva C=g(I) . Chama-se tangente à curva C num ponto g(t₀) de C tal que g é diferenciável em t₀ a um vector v=g'(t₀)≠0 . Chama-se vector ortogonal a uma curva C num ponto em que tem tangente a um vector ortogonal a uma tangente à curva nesse ponto.

Observação: Se f:D→ℝ, com D⊂ℝ é diferenciável em a∈int D com ∇f(a)≠0 e g:I→D é uma função diferenciável em t₀∈int I que representa uma curva de nível de f em D e a= g(t₀) com v=g'(t₀)≠0, da Regra de Derivação da Função Composta 0=(f∘g)´(t₀)=∇f(a)·v ; logo, gradiante ≠0 de f num ponto é ortogonal à curva de nível de f que passa no ponto (ver-se-á mais tarde que se ∇f(a)≠0 o conjunto de nível que passa em a é uma curva que tem pelo menos uma representação paramétrica diferenciável no valor correspondente do parâmetro e em que tem tangente). Portanto, o gradiante de um campo diferencial é ortogonal às curvas de nível em pontos em que têm tangente.

Descrição geométrica: Gradiante de campo escalar f:D→ℝ diferenciável em a∈int D⊂ℝⁿ: ∇f(a)∈ℝⁿ ⊥ curva de nível no ponto a , com o sentido para onde f cresce e comprimento igual à derivada direccional de f em a na direcção do vector em que a derivada direccional em a é máxima. Se f é diferenciável no ponto a , a derivada direccional na direcção de um vector v≠0 é + ou - o comprimento da projecção ortogonal de ∇f(a) sobre v conforme v aponta para onde f cresce ou decresce.

Equação cartesiana de plano-(n-1) tangente a conjunto de nível de campo escalar f:D→ℝ com derivada ≠0 em a∈int D⊂ℝⁿ: ∇f(a)·(x-a)=0 . Plano-n tangente em (a,f(a)) a gráfico de campo escalar f:D→ℝ diferenciável em a∈int D⊂ℝⁿ é plano-n tangente a conjunto de nível de  F(x,z)=z-f(x) em  (a,f(a)), pelo que tem equação cartesiana: ∇F(a,f(a))·(x-a,z-f(a))=0 ⇔ (-∇f(a),1)·(x-a,z-f(a))=0 ⇔ -∇f(a)·(x-a)+(z-f(a))=0 (é o conjunto dos pontos (x,z)∈ℝⁿxℝ que satisfazem esta equação).

Exemplo: Determinação de linhas de nível e gradiante em ponto a de linhas de nível de campo escalar concreto definido em ℝ² com derivada ≠0 em a∈ℝ².

Coordenadas polares, cilíndricas e esféricas e aplicação da regra de derivação da função composta para determinar uma qualquer das derivadas parciais de um campo escalar diferenciável num destes sistemas de coordenadas em termos das derivadas parciais do campo em coordenadas cartesianas.

13ª Aula - Revisão de como determinar se função é diferenciável e calcular derivadas. Cálculo de planos tangentes a gráficos de funções como translação de gráfico da transformação linear que é a derivada e por equação cartesiana; relação com gradiante no caso de campos escalares. Exemplos de determinação de diferenciabilidade e derivada com base nas regras de derivação de operações de funções e na definição em pontos em que as regras não se apliquem, e esboço de gráficos de campos escalares em ℝ2. Derivadas segundo vectores e direccionais. Exemplos.

16 março 2017, 13:00 • Luis Magalhães

Revisão: Para determinar se uma função é diferenciável num ponto e, se for, calcular a derivada, começa-se por explorar a possibilidade de dar a função numa vizinhança do ponto por operações com funções diferenciáveis em pontos correspondentes. Só se consideram alternativas (e.g. a definição de diferenciabilidade que envolve calcular um limite de uma indeterminação) em pontos em que isto não seja possível.

Exemplos: Determinação do conjunto de diferenciabilidade de campos escalares concretos em ℝ², do plano tangente num ponto de diferenciabilidade como gráfico de função e por equação cartesiana, e identificação de vector ortogonal ao plano tangente, esboço dos gráficos das funções, e observações em relação a ordens de convergência de quocientes nas fórmulas das funções consideradas em relação a continuidade e a diferenciabilidade.

Proposição: Se f:D→ℝ^m, D⊂ℝⁿ é diferenciável em a∈int D, a equação cartesiana do plano tangente ao gráfico de f em (a,f(a)) é z-[Df(a)](x-a)=f(a) para pontos (x,z)∈ℝⁿxℝ^m. Para campos escalares (m=1) também se pode escrever z-∇f(a)·(x-a)=f(a) para pontos (x,z)∈ℝⁿxℝ ; (-∇f( a),1) é ortogonal ao plano tangente ao gráfico de f em (a,f(a)).

Observação: As derivadas parciais num ponto foram definidas como derivadas de funções de 1 variável que são restrições da função de várias variáveis considerada a rectas paralelas aos eixos coordenados que passam no ponto. Pode-se proceder identicamente em relação a qualquer outra recta que passa no ponto

Definições: Derivada de uma função f num ponto a segundo um vector v≠0, f´(a;v) e derivada direccional na direcção de v, f´(a;v/||v||) .

Observações: 
(1) Derivadas parciais são derivadas direccionais na direcção e sentido dos vectores da base canónica do espaço que contém o domínio da função: D_jf_i(a)=∂f_i/∂x_j(a)=f_i´(a;e_j) . 
(2) Se f tem valores em ℝ^m e variáveis em ℝⁿ, então f´(a;v)=(f₁´(a;v), ... , f_m´(a;v)) em que f=(f₁,..., f_m) e cada f_j é um campo escalar.

Proposições: 
(1) f´(a;v) para v≠0 existe se e só se a derivada direccional de f na direcção de v existe, e em caso afirmativo f´(a;v)=||v|| f´(a;v/||v||) .
(2) Se f é diferenciável em a e v≠0, então f´(a;v)=[f´(a)](v)=[Df(a)]v (para campo escalar  f´(a;v) =[f´(a)](v)=[Df(a)]v=∇f(a)·v).

Exemplos: Campo escalar em ℝ² com derivada em 0 segundo qualquer vector v≠0 e descontínuo em 0, logo não diferenciável em 0 ; idem com restrição a ℝ²\{0} uma função racional.

Diferenciabilidade, exercícios da ficha 3

15 março 2017, 11:30 • Manuel Paulo de Oliveira Ricou

Exercícios 1, 2, 3, 4 (b), 5, 6, 7.