12ª Aula - Diferenciabilidade de funções em conjuntos. Diferenciabilidade e regras de derivação de operações elementares com funções diferenciáveis num ponto. Diferenciabilidade da composição de funções diferenciáveis e regra de derivação da função composta. Exemplo de determinação dos pontos em que um capo escalar é diferenciável e da derivada nesses pontos com base nas regras de derivação de operações de funções e na definição em pontos em que essas regras não se apliquem

14 março 2017, 11:30 • Luis Magalhães

Definição: Diz-se que f é diferenciável em S⊂int D se é diferenciável em todos os pontos de S .

Proposição: Se f,g:D→ℝ^m, com D⊂ℝⁿ são diferenciáveis em a∈int D , multiplicações por constantes, somas, produtos internos (inclui produto de campos escalares se m=1), produtos externos se m=3 e quocientes (com denominador ≠0 em a) são diferenciáveis em a , e as respectivas regras de derivação são: (cf)´(a)=cf´(a) , (f+g)´(a)=f´(a)+g´(a) , [<f,g>´(a)]h=<g(a),f´(a)h>+<f(a),g'(a)h> , (f/g)´(a)=[g(a)f´(a)-f(a)g'(a)]/[g(a)]². (Dem. Provar que o termo de erro na resp. fórmula de Taylor de 1ª ordem ||h||E(a,h) é tal que lim_h→0E(a,h)=0 a partir do dado de assim ser para os erros nas fórmulas de Taylor de 1ª ordem de f e g ; para o produto interno usa a Desigualdade de Cauchy-Schwarz e que se T∈L(ℝⁿ,ℝ^m) ∃_M>0: ||T(h)||≤||h|| ).

Proposição: Regra de derivação da função composta (ou regra da cadeia): Se g:D_g→ℝⁿ é diferenciável em a∈int D_g⊂ℝ^p e f:D_f→ℝ^m é diferenciável em g(a)∈int D_f⊂ℝⁿ, então f∘g é diferenciável em a e D(f∘g)(a)=Df[g(a)]Dg(a) (produto de matrizes), ou seja (f∘g)'(a)=f´[g(a)]∘g´(a) (composição de transformações lineares). (Dem. Como na proposição precedente e também usando que se T∈L(ℝⁿ,ℝ^m) ∃_M>0: ||T(h)||≤||h|| ).

Observação: Para determinar se uma função é diferenciável num ponto e, se for, calcular a derivada, começa-se por explorar a possibilidade de obter a função numa vizinhança do ponto em termos das operações consideradas de funções diferenciáveis em pontos correspondentes. Só se consideram alternativas (e.g. a definição de diferenciabilidade que envolve calcular um limite de uma indeterminação 0/0) em pontos em que isto não seja possível.

Exemplo: Determinação do conjunto de diferenciabilidade de um campos escalar concreto em ℝ², diferenciável em todos os pontos menos na origem, onde existe a matriz jacobiana, e cálculo de matriz jacobiana, gradiante e derivada em pontos de diferenciabilidade.

3ª Aula Prática

13 março 2017, 14:30 • Ricardo Coutinho

Discussão e resolução de exercícios; ficha 3.

11ª Aula - Revisão da noção de diferenciabilidade e derivada de funções de n variáveis reais com valores em ℝm. Unicidade de derivada e continuidade de funções diferenciáveis. Plano tangente a gráfico de função, matriz jacobiana, derivadas parciais; gradiante de campo escalar. Diferenciabilidade de transformações lineares. Exemplo de determinação de matriz jacobiana.

13 março 2017, 11:30 • Luis Magalhães

Revisão: Definição de derivada e de fórmula de Taylor de 1ª ordem para função real de variável real e que diferenciabilidade equivale a existência de recta tangente não vertical. Extensão da definição para várias variáveis com base na fórmula de Taylor de 1ª ordem, com a derivada de uma função f num ponto a no interior do domínio de f , quando existe, a ser transformação linear f´(a) que dá a melhor aproximação de acréscimos da função em relação a f(a)  em função de acréscimos no domínio em relação a a . Existência de derivada para funções de n variáveis reais num ponto a corresponde a existência de plano-n não vertical tangente ao gráfico da função em (a,f(a)) ; f´(a) é a transformação linear cujo gráfico é a translação do plano tangente ao gráfico da função para a origem. A definição é:  f:D→ℝ^m, com D⊂ℝⁿ, é diferenciável em a∈int D se ∃ transformação linear f´(a)∈L(ℝⁿ,ℝ^m) tal que se verifica a Fórmula de Taylor de 1ª ordem de f em a dada por f(a+h)-f(a)=[f´(a)](h)+||h||E(a,h) com E(a,h)→0 quando h→0 . 

Proposição: Se f:D→ℝ^m, com D⊂ℝⁿ, é diferenciável em a∈int D , então a derivada f´(a) é única.

Definição: Matriz jacobiana de f:D→ℝ^m, com D⊂ℝⁿ, f=(f₁,...,f_m) em a∈int D é matriz mxn Df(a)=[D_jf_i(a)]_i,j=(∂f/∂x)(a)=[(∂f_i/∂x_j)(a)]_i,j , i=1,...,m, j=1,...,n, se derivadas parciais de f em a existem. Derivada parcial de f em relação à componente j em a é Df_j(a)=(D_jf₁(a),...,D_jf_m(a))=(∂f/∂x_j)(a)=((∂f₁/∂x_j)(a),...,(∂f_m/∂x_j)(a)) , em que (∂f_i/∂x_j)(a)=lim_h→0[f(a+he_j)-f(a)]/h , em que (e₁, ...,e_n) é a base canónica de ℝⁿ. Se m=1, ao vector com as componentes da matriz jacobiana de f chama-se gradiante (ou gradiente) ∇f de f, ∇f(a)=((∂f/∂x₁)(a),...,(∂f/∂x_n)(a)) .

Observação: Se  f:D→ℝ, com D⊂ℝⁿ, e g(h)=f(a+he_j)=f(a₁,...,a_j-1,a_j+h,a_j+1,...,a_n) , então (∂f/∂x_j)(a)=g´(0) , ou seja é a derivada da função g que dá os valores de f em função da componente x_j com as outras componentes fixas com os valores das correspondentes componentes de a .

Proposição: Se f:D→ℝ^m, com D⊂ℝⁿ, é diferenciável em a∈int D, então a matriz jacobiana e as derivadas parciais de f em a existem e f´(a)(h)=Df(a)h, D_jf(a)=f´(a)(e_j), D_jf_i(a)=(∂f_i/∂x_j)(a)=f_i´(a)(e_j) . 

Exemplo: A matriz jacobiana (i.e. todas as derivadas parciais) podem existir sem a função ser diferenciável (i.e. sem a função ter derivada).

Observação: Se f:D→ℝ^m, com D⊂ℝⁿ, é diferenciável em a∈int D , o plano-n tangente ao gráfico de f em (a,f(a)) é o gráfico de x↦f´(a)(x-a)+f(a) , ou seja é G(f´(a))+{(a,f(a)}  e a equação cartesiana deste plano-n (em ℝ^n+m) é y=Df(a)(x-a)+f(a) , com (x,y)∈ℝⁿxℝ^m.

Proposição: Se f:ℝⁿ→ℝ^m é uma transformação linear, então é diferenciável e f´(a)=f (i.e. a derivada de uma transformação linear é essa mesma transformação linear).

Exemplo: Cálculo de matriz jacobiana e derivada de exemplo concreto de transformação linear em ℝ².

Proposição: Uma função diferenciável num ponto é contínua nesse ponto;

Observação: Para determinar se uma dada função f é diferenciável num ponto a a partir da definição:
    (1º) Calcular as derivadas parciais de todas as componentes em relação a todas as variáveis em a ; 
    (2º) Se pelo menos uma não existe, f não é diferenciável em a ; 
    (3º) Se todas as derivadas parciais existem, usam-se para escrever a matriz jacobiana Df(a) e determina-se se o termo de erro na Fórmula de Taylor de 1ª ordem de f em a a dividir por ||h|| , E(a,h)=[f(a+h)-f(a)-Df(a)h]/||h||→0 quando h→0 ; 
    (4º) se não, f não é diferenciável em a ; 
    (5º) se sim, f é diferenciável em a e a derivada é dada por f´(a)(h)=Df(a)h (determinar diferenciabilidade reduz-se a um problema de limites: determinar se uma função associada (i.e. h↦E(a,h)) tem limite 0 em 0 , que é uma indeterminação 0/0 no caso da derivada existir).
Determinar se uma função é diferenciável a partir da definição envolve determinar se o limite de uma indeterminação 0/0 existe e é 0 , o que em geral é trabalhoso. Por isso, interessa ter condições mais simples suficientes para diferenciabilidade a partir das operações elementares com funções e regras de derivação, como para funções reais de variável real.

3ª Aula Prática

13 março 2017, 10:00 • Ricardo Coutinho

Discussão e resolução de exercícios; ficha 3.

Continuidade e conjuntos compactos

10 março 2017, 12:30 • Manuel Paulo de Oliveira Ricou

Caracterização de compactos: o teorema de Heine-Borel.