Sumários
AT14
24 outubro 2017, 13:00 • Roger Francis Picken
Exemplos de outros espaços lineares (matrizes m por n, polinómios de grau menor ou igual a n) e subsepaços destes (matrizes simétricas, antisimétricas etc).
AT13
20 outubro 2017, 13:00 • Roger Francis Picken
Revisão das equações cartesianas e paramétricas para planos e retas em R^3, no caso quando são subespaços lineares. As adaptações usadas para obter equações de planos e retas paralelos a subespaços, não passando pelo origem.
A soma e a interseção de dois subespaços U e W de um espaço linear V. Justficação porque constituem subespaços de V. Exemplos. A noção de soma direta (= a soma quando a interseção tem dimensão 0). Propriedade que relaciona as dimensões destes espaços lineares com as dimensões de U e W. Demonstração da propriedade, incluíndo um exercício.
AP5
19 outubro 2017, 16:30 • Roger Francis Picken
Exercícios sobre (in)dependência linear e bases; equações cartesianas e paramétricas; soma e interseção de subespaços. Exercícios usados (dos exercícios com respostas): 3-11, 3-13, 3-15, 3-17, 3-19, 3-50.
AT12
19 outubro 2017, 13:00 • Roger Francis Picken
Equações cartesianas e equações paramétricas de retas em R^2, planos em R^3 e retas em R^3, começando com os casos quando estes conjuntos são subespaços lineares. A relação entre estas duas perspetivas e as descrições correspondentes em termos de subespaços lineares:
núcleo de uma matriz --> equações cartesianas
expansão linear de um ou mais vetores --> equações paramétricas
A passagem entre as duas descrições. Observações geométricas, incluindo a observação que um vetor linha e um vetos coluna cujo produto matricial é 0, são perpendiculares entre si.
Indicação das modificações necessárias nas equações para descrever retas ou planos que não passam pela origem (os chamados "planos-k", com k=1 ou 2).
AP5
17 outubro 2017, 16:30 • Roger Francis Picken
Exercícios sobre (in)dependência linear e bases; equações cartesianas e paramétricas; soma e interseção de subespaços. Exercícios usados (dos exercícios com respostas): 3-11, 3-13, 3-15, 3-17, 3-19, 3-50.