Sumários

AT34

15 Dezembro 2017, 13:00 Roger Francis Picken

Revisões. Valores e vetores próprios. O espaço próprio associado a um valor próprio. Cálculo dos valores próprios usando o polinómio caraterístico; multiplicidade algébrica. Cálculo dos espaços próprios; multiplicidade geométrica. Quando a soma das multiplicidades geométricas é igual a n para uma matriz A n por n, então A é diagonalizável, com matriz diagonalizante S não-singular, sendo as colunas de S vetores próprios de A. Exemplo LO 4-13a.
Diagonalização ortogonal de uma matriz A real simétrica. Neste caso é possível não só diagonalizar A, mas também ter S ortogonal (equivale dizer que as colunas de S são ortonormadas). Exemplo: resolução abreviada de LO 6-34.
Formas quadráticas. A diagonalização de uma forma quadrática Q pode ser feita aproveitando a diagonalização ortogonal da matriz simétrica A associada a Q. Exemplo Lista 12, 3a. Classiificação das formas quadráticas (definida positiva/negativa, semi-definida positiva/negativa, indefinida).
Diagonalização unitária: quando A é uma matriz hermiteana, anti-hermiteana ou unitária, é possível não só diagonalizar A, mas também ter S unitária (equivale dizer que as colunas de S são ortonormadas em C^n ). Propriedades dos valores próprios para estes três tipos de matrizes A.


AP13

14 Dezembro 2017, 16:30 Roger Francis Picken

Exercícios da lista de exercícios sugeridos sobre
- formas quadráticas,
- fórmula para a inversa de uma matriz e regra de Cramer
- diagonalização unitária


AT33

14 Dezembro 2017, 13:00 Roger Francis Picken

Revisões
Produto externo. Fórmula usando um determinante 3 por 3 formal e a regra de Laplace. Propriedades do produto externo, e resolução do exercício 4.6.3a do livro de Magalhães.
Projeções ortogonais. Complemento ortogonal de um subespaço W. Projeção ortogonal de v em W ou no complemento ortogonal de W. Fórmulas para o cálculo das projeções ortogonais. Distância entre v e W ou entre v e o complemento ortogonal de W. Exemplo LO 6-18b.
Quadrados mínimos. Revisão. Discussão do exercício 1 da lista 12, usando uma aproximação da forma y=mx+d. (Uma aproximação mais simples y=mx está na página).
Determinantes. Revisão de algumas propriedades. Cálculo do determinante a partir da linearidade em cada linha, antisimetria sob trocas de linhas, etc. Exemplo Lista 2, 12a. Observação sobre o exercício 9 da lista 3: para o determinante da matriz no numerador da expressão para x_1, é preciso olhar para as 3 primeiras linhas e observar que existe uma dependência linear.




AP13

12 Dezembro 2017, 16:30 Roger Francis Picken

Exercícios da lista de exercícios sugeridos sobre
- formas quadráticas,
- fórmula para a inversa de uma matriz e regra de Cramer
- diagonalização unitária


AP13

12 Dezembro 2017, 15:00 Roger Francis Picken

Exercícios da lista de exercícios sugeridos sobre
- formas quadráticas,
- fórmula para a inversa de uma matriz e regra de Cramer
- diagonalização unitária