Sumários
AT11 Funções diferenciáveis num domínio; derivação de funções compostas
2 outubro 2008, 13:00 • Roger Francis Picken
A diferenciabilidade de uma função com valores em R^m em (todos os pontos de um domínio aberto) D de R^n, equivale a diferenciabilidade das suas m funções coordenadas em D.
Dois métodos para provar a diferenciabilidade de uma função em D: 1) as funções constantes e as funções, que atribuem a cada x de R^n a sua componente x_i, são diferenciáveis em R^n. Depois a soma, o produto e o cociente de duas funções com valores reais diferenciáveis em D é diferenciável, e ainda a composição de uma função com valores reais diferenciável em D com uma função real de uma variável diferenciável, é diferenciável. 2) Uma função de classe C^1 em D (ou seja cujas derivadas parciais são todas funções contínuas em D) é diferenciável em D. Exemplos dos dois métodos.
Primeira abordagem da derivação de funções compostas, com uma revisão do resultado para funções reais de uma variável, e a generalização da fórmula para a derivada de uma função composta para o caso das funções de uma ou mais variáveis com valores em espaços R^m, onde m pode ser maior de 1.
AP3
2 outubro 2008, 10:00 • Roger Francis Picken
Exercícios 1) - 5) da ficha 2 sobre derivadas parciais, matriz Jacobiana, derivadas segundo um vector e diferenciabilidade.
AT10 Funções diferenciáveis num ponto
30 setembro 2008, 13:00 • Roger Francis Picken
Perspectiva sobre funções diferenciáveis de uma ou duas variáveis: a diferença entre o valor da função e o valor da sua aproximação "linear", ou seja a aproximação da 1ª ordem, tende para zero "com a rapidez suficiente". Com base nisto, a generalização da definição de uma função diferenciável num ponto do interior do seu domínio, para funções de n variáveis e para funções com valores em R^m. Propriedade principal de uma função diferenciável num ponto: uma fórmula igualando a derivada da função no ponto segundo um vector v com o produto interno entre o gradiente de f no ponto e o vector v (m=1), ou o produto matricial da matriz derivada de f no ponto e o vector v (m>1). Outra propriedade: f diferenciável num ponto implica que f é contínua nesse ponto. Assim temos uma lista de 3 condições necessárias para que f seja diferenciável num ponto: 1) a existência de todas as derivadas parciais e derivadas segundo qualquer v de f nesse ponto; 2) a compatibilidade entre as derivadas de f nesse ponto, de acordo com a fórmula anterior; 3) a continuidade de f nesse ponto. Menção de exemplos anteriores onde a função falha 1) ou 2), revelando-se assim como sendo não-diferenciável num ponto. Novo exemplo de uma função que não falha 1) nem 2), mas é descontínua, revelando-se assim como sendo não-diferenciável num ponto.
AT9 Funções diferenciáveis de duas variáveis
29 setembro 2008, 13:00 • Roger Francis Picken
Observações iniciais sobre a noção da diferenciabilidade de uma função de duas ou mais variáveis: não basta a existência das derivadas, têm ainda de ser compatíveis (essa compatibilidade é automática para funções de uma variável). Preparação com a definição e exemplos da notação "o-minúscula", para descrever certos casos de limites. Breve discussão da notação semelhante "O-maiúscula". Reformulação da noção de uma função de uma variável ser diferenciável num ponto, de tal modo a permitir a generalização natural desta definição para funções de duas variáveis. Exemplos de funções diferenciáveis e não-diferenciáveis num ponto. Incompatibilidade das derivadas parciais e de uma derivada segundo um vector, no exemplo da função não-diferenciável num ponto.