Sumários
AT19 Exemplos teorema da função inversa. Primeira versão Teorema da função implícita
16 outubro 2008, 13:00 • Roger Francis Picken
Exemplos do teorema da função inversa usando funções definidas em R^2 com valores em R^2. Primeiro uma função linear admitindo uma função inversa definida em R^2, com observações sobre a relação entre o teorema e a abordagem usando métodos de Álgebra Linear. Depois uma função não-injectiva, mas admitindo uma função inversa numa vizinhança de cada ponto de R^2. Cálculo, para um ponto concreto, da matriz derivada da função inversa no ponto imagem, usando o teorema. O Teorema da função implícita responde a questões do tipo: quando é que a equação F(x,y)=0 determina y como função de x, ou x como função de y, e qual é a derivada dessa funções? Exemplo mostrando como estas questões se podem relacionar com a existência de uma função inversa. Exemplo geométrico: cálculo do declive de uma recta tangente a uma elipse, através de derivação explícita e implícita. Formulação do teorema da função inversa para o caso de uma função F de duas variáveis, e observações sobre a interpretação da condição de que uma derivada parcial de F não se anula no ponto considerado.
AP5
16 outubro 2008, 10:00 • Roger Francis Picken
Exercícios 1-4 da ficha 3 de exercícios, sobre derivadas de ordem superior, e a pesquisa de extremos através da classificação de pontos de estacionaridade, usando a matriz Hessiana.
Aula 5
15 outubro 2008, 10:30 • Joana Ventura
Ficha 3 -- derivadas de segunda ordem, classificação de pontos de estacionaridade.
AT18 Observação fórmula de Taylor. Teorema da função inversa
14 outubro 2008, 13:00 • Roger Francis Picken
Observação sobre como a fórmula de Taylor de ordem 2 para f de classe C^2 justifica a pesquisa de extremos através da matriz Hessiana nos pontos de estacionaridade de f (para mais detalhes ref. pág. 213-4 e exercício 26 na página 223 de Marsden-Tromba). Exemplos de funções inversas de funções de uma variável. Observação, usando f(x) = x^2, que o domínio da função é importante para a existência da função inversa. Questões centrais a abordar: a) existência de uma função inversa numa vizinhança de um ponto do domínio; b) a derivada dessa função inversa. Observações sobre estas questões para funções de uma variável. Noção de uma função injectiva, e como uma função injectiva admite uma função inversa. Teorema da função inversa para funções de classe C^1, definidas num domínio aberto de R^n, com valores em R^n. Primeiro exemplo de uma função linear de R^3 em R^3, a matriz associada (coincidindo com a matriz derivada), a respectiva matriz inversa e a função inversa.