Sumários

Aula 4

8 outubro 2008, 10:30 Joana Ventura

Ficha 2 -- definição de diferenciabilidade, derivada da função composta.


AT14 Derivadas de ordem superior de funções compostas; Início dos extremos de funções em R^n

7 outubro 2008, 13:00 Roger Francis Picken

Exemplo do cálculo de derivadas de ordem 1 e 2 de uma função composta (exemplo 5, pág. 185-6 do livro de Marsden e Tromba). Segundo exemplo com soluções da equação de onda em dimensão 1, em termos de duas funções arbitrárias de uma variável de classe C^2 (exercício 21, pág. 192 do mesmo livro). Noção de pontos de estacionaridade e pontos críticos para funções de uma variável e primeiras indicações sobre a pesquisa de extremos usando cálculo diferencial para funções de duas variáveis, incluindo a definição da matriz Hessiana para este caso.


AT13 Derivadas de ordem superior

6 outubro 2008, 13:00 Roger Francis Picken

Derivadas parciais da 2a ordem e de ordem superior a 2. Notação para as derivadas de ordem superior. Exemplo das derivadas parciais da 2a ordem de uma função de duas variáveis, e observação sobre a igualdade das derivadas parciais da 2a ordem cruzadas. Exemplo de uma função onde a igualdade das 2as derivadas parciais não se verifica. Definição da noção de funções de classe C^2, de classe C^p (todas as derivadas parciais até ordem p existem e são contínuas em D) e de classe C^infinito num domínio aberto de R^n. Teorema (de Schwarz): f de classe C^2 em D aberto tem as derivadas cruzadas de ordem 2 iguais em todos os pontos de D. Como corolário, f de classe C^p em D aberto tem as derivadas cruzadas até ordem p iguais em todos os pontos de D. Introdução da noção das derivadas de ordem superior segundo vectores. Menção das aplicações das derivadas parciais de ordem superior nas equaçãoes de calor, de Laplace, da onda, de Schroedinger, e de Korteweg-de Vries.


AT12 Derivação de funções compostas

3 outubro 2008, 13:00 Roger Francis Picken

Exemplo do uso da fórmula para a matriz derivada de uma função composta, com ambas as funções explicitamente dadas. Apresentação gráfica das dependências entre as variáveis usando árvores, e fórmulas para as derivadas parciais da função composta. Exemplo de um problema de funções compostas, onde uma das funções é explicitamente dada e a outra não, obrigando ao uso da fórmula para a matriz derivada da função composta. Aplicação das derivadas de funções compostas no contexto de uma discussão sobre funções reais de duas variáveis, as suas curvas de nível, o gradiente como vector que indica a direcção de maior crescimento da função, e a perpendicularidade do gradiente e do vector tangente à curva de nível em cada ponto.


Aula pratica 3

3 outubro 2008, 09:30 Rosa Sena-Dias

Ficha 2