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33ª Aula - Revisão: definição, propriedades básicas e fórmula com permutações para determinantes. Cálculo de determinantes por eliminação de Gauss e Fórmula de Laplace. Determinante do produto de matrizes é o produto dos determinantes das matrizes; determinante da inversa de matriz não singular A é 1/(det A). Fórmula para a inversa de matriz não singular em termos de determinantes e Regra de Cramer. Valores e vectores próprios: definição e verificação que calculá-los reduz-se a resolver equações lineares indeterminadas, polinómio característico (determinação dos coeficientes de grau n, n-1 e 0 , com n a ordem da matriz) e relação com valores próprios.
6 dezembro 2016, 10:00 • Luis Magalhães
Revisão: Definição, propriedades básicas e fórmula com permutações para determinantes.(análogo com ℂ em vez de ℝ).
Determinante de matriz triangular é o produto das componentes da diagonal principal.
det At = det A .
Exemplo de cálculo de determinante com a fórmula de permutações.
Cálculo de determinante por eliminação de Gauss.
Uma matriz nxn A é não singular se e só se det A≠0.
Fórmula de Laplace em relação a uma linha (ou coluna) para determinante. Definição de cofactor-ij de matriz A por (cof A)ij=(-1)i+jdet Aij, em que Aij é a submatriz obtida de A suprimindo a linha i e a coluna j . Matriz dos cofactores de A , cof A=[(cof Aij] . Fórmula de Laplace relativa à linha-i det A = ∑j aij (cof A)ij = ∑j (-1)i+j aij det Aij ) ; Fórmula de Laplace relativa à coluna-j det A = ∑i aij (cof A)ij = ∑i (-1)i+j aij det Aij .
Exemplo de cálculo de determinante com Fórmula de Laplace.
Observação: Genericamente para matrizes que não sejam de muito pequena dimensão o cálculo é mais eficiente com eliminação de Gauss. Os outros métodos podem ser mais eficientes para matrizes esparsas com estruturas particulares; além disso, dão fórmulas que permitem obter a sensitividade do determinante a partir das componentes da matriz.
Se A,B são matrizes nxn, então det AB=(det A)(det B) (prova: se det B≠0, a função definida por f(A)=(det AB)/(det B) satisfaz as 3 condições da definição de det, e como esta é uma função única f(A)=det A ; se det B=0, as linhas de B são linearmente dependentes, e rank B<n , pelo que rank AB≤min{rank A, rank B}<n e, então, as linhas de AB são linearmente dependentes e det AB=0). Se A é matriz quadrada não singular, então det A-1=1/(det A) (prova (det A)(det A-1)=det AA-1=det In=1).
Fórmula para inversa de matriz não singular nxn : A-1=[1/(det A)](cof A)t (prova: da Fórmula de Laplace obtém-se A(cof A)t=(det A) I_n ).
Observação: para uma matriz genérica que não seja de muito baixa dimensão o cálculo com esta fórmula é computacionalmente muito menos eficiente do que com eliminação de Gauss, mas a fórmula permite obter a sensitividade das componentes da inversa a partir das componentes da matriz e calcular directamente uma componente, além de ter interesse teórico.
Regra de Cramer para resolução de sistemas de n equações lineares com n incógnitas com matriz de coeficientes A não singular: a solução de Ax=b é x=(x1,...,xn) com xj=(det Cj)/(det A) , em que Cj é a matriz obtida de A substituindo a coluna j por b (prova: x=A-1b=[1/(det A)](cof A)t, pelo que xj = [1/(det A)] ∑kbk(cof A)kj= (det Cj)/(det A) ).
Definição: Valor próprio λ e de vector próprio u associados de transformação linear T∈L(V) : T(u)=λu , u≠0 , com λ escalar do espaço linear V .
Observações:
(1) Os vectores próprios são os vectores que definem direcções invariantes sob a acção da transformação linear. Os valores próprios reais são os factores de expansão/contracção (conforme |λ|>1 ou |λ|<1) sem ou com reflexão (conforme λ>0 ou λ<0) na direcção dos vectores próprios associados.
(2) Valores e vectores próprios calculam-se resolvendo sistemas de equações lineares homogéneos indeterminados.
Se T∈L(V) , dim V=n é finita e A é a representação matricial de T numa base de V, então λ é valor próprio de T se e só se Au=λu para algum u≠0 (diz-se também que λ é valor próprio e u é um vector próprio associado da matriz A ) e isso acontece se e só se N(A-λIn)≠{0} , o que acontece se e só se pA(λ)=det(A-λIn)=0 (equação característica de A ). Chama-se a pA polinómio característico de A (ou T) e a pA(λ)=0 equação característica de A (ou T).
Os valores próprios de T e de A são os zeros do polinómio característico de A que pertencem aos escalares do espaço linear V. O polinómio característico tem grau n e é da forma pA(λ) = (-1)nλn + (-1)n-1(tra A)λn-1+ cn-2λn-2 + ··· + c1λ + det A , com cn-2, ..., c1 coeficientes escalares. Em espaços lineares reais os valores próprios são os zeros reais e em espaços lineares complexos os valores próprios são os zeros complexos do polinómio característico.
32ª Aula - Produto externo em ℝ3: definição, bilinearidade, antisimetria, ortogonalidade, norma=área do paralelogramo associado. Paralelepípedo-n em ℝn. Determinantes: definição axiomática com base em propriedades de volumes de paralelepípedos-n, propriedades gerais, fórmula em termos de permutações, existência e unicidade.
5 dezembro 2016, 10:00 • Luis Magalhães
Produto externo em ℝ3: definição, propriedades fundamentais (antisimetria, linearidade em cada parcela com a outra fixa -- bilinearidade, ortogonalidade a cada parcela no produto interno canónico, igualdade do quadrado da norma à diferença dos quadrados dos dois lados da desigualdade de Cauchy-Schwarz com o produto interno canónico, que é equivalente à norma ser a área do paralelogramo que tem as parcelas como arestas), descrição geométrica do produto externo, o produto externo de dois vectores é ≠0 se e só se os vectores são linearmente independentes. propriedades do produto externo de vectores linearmente independentes (com os vectores das parcelas forma um conjunto de três vectores linearmente independente, logo uma base de R 3; todo o vector ortogonal a dois vectores é colinear com o produto externo dos vectores). Observação de que é impossível definir um produto externo com as 4 propriedades fundamentais excepto em ℝ3 e ℝ7.
Determinante:
motivação com a ideia de se pretender que o valor absoluto do determinante de n
vectores em ℝn dê o volume-n do paralelepípedo-n com esses
vectores como arestas, definição de paralelepípedo-n e ilustração geométrica do
sentido de volume-n, definição de determinante como função de (ℝn)n em ℝ com as
propriedades:
(1) Multilinearidade (linearidade em cada argumento com os outros
fixos),
(2) Anulação (quando dois argumentos são iguais),
(3) Normalização (=1 quando os argumentos são a base canónica de ℝn).
Propriedades gerais do determinante (=0 se um argumento =0, muda de sinal com
troca de um par dos argumentos, determinante de n vectores linearmente
dependentes em ℝn ou ℂn é 0). Definição análoga para n vectores em ℂn como função com valores em ℂ .
Definição de determinante de matriz quadrada como sendo o determinante do múltiplo ordenado das linhas da matriz.
Exemplos de cálculo de determinantes de matrizes 2x2 e 3x3 directamente a partir da definição. Fórmula para determinantes em termos de permutações. Prova de que existe uma função única que satisfaz as condições da definição de determinante.