Sumários
13ª Aula - Exemplos de bases e dimensão de espaços lineares (cont.): aplicação à resolução de equações diferenciais lineares e a dimensão de espaço das funções reais de variável real é maior ou igual a #ℝ . Característica e nulidade e sistemas de equações lineares. Característica e produto de matrizes.
11 outubro 2016, 10:00 • Luis Magalhães
Exemplos de bases e dimensão de espaços lineares: as funções reais de variável real definidas por sin at, cos at , com a≠0 , são linearmente independentes em ℝℝ, geram um subespaço de dimensão 2 de ℝℝ; as funções reais de variável real definidas por sin2t , cos2t , 1 são linearmente dependentes, mas quaisquer duas geram um subespaço de dimensão 2 de ℝℝ (cada par gera um subespaço linear diferente).
Continuação de exemplos de bases e dimensão de espaços lineares: espaço das soluções da equação diferencial y'=-ay do decaimento radioactivo,
Funções exponenciais reais de variável real uk(t)=eakt, com ak∈ℝ , para k=1,...,n , são linearmente independentes se e só se os ak são distintos (logo, há subconjuntos linearmente independentes no espaço linear ℝℝ das funções reais de variável real com a cardinalidade dos nºs reais ( dim ℝℝ ≥ #ℝ ).
Continuação de exemplos de bases e dimensão de espaços lineares: espaço das soluções da equação diferencial my''+k2y=0 do movimento livre de massa e mola sem atrito sobre uma recta, com mola que satisfaz a Lei de Hooke da elasticidade linear e a Lei de Newton como equação do movimento.
Característica e nulidade e sistemas de equações lineares: Um sistema de equações lineares Ax=b : (1) tem solução se e só se rank A = rank [A b] , (2) não tem solução se e só se rank A < rank [A b] , (3) tem solução única se e só se rank A = rank [A b] e nul A=0 , (4) tem infinitas soluções se e só se rank A = rank [A b] e nul A > 0 .
Característica e produto de matrizes:
(1) rank AB ≤ min{rank A, rank B},
(2) produto de uma matriz por uma matriz não singular à esquerda ou à direita não altera a característica da matriz,
(3) para matrizes quadradas A , existência de inversa à esquerda implica que essa matriz também é inversa (à direita) de A , e existência de inversa à direita implica que essa matriz também é inversa (à esquerda) de A .
12ª Aula - Revisão do Teorema da Dimensão. Exemplos de bases e dimensão de espaços lineares. Teorema de característica e nulidade para matrizes. Propriedades gerais de bases de espaço linear de dimensão finita (Sala Qa)
11 outubro 2016, 09:00 • Luis Magalhães
Revisão: Teorema da dimensão: Todo espaço linear V≠{0} tem bases, todas com a mesma cardinalidade, chamada dimensão de V, designada dim V. (dada a prova para caso de dimensão finita).
Exemplos de bases e dimensão de espaços lineares: determinação de bases dos espaços das colunas, das linhas e do núcleo de matriz em escada de linhas.
Determinação de bases dos espaços de linhas, de colunas e nulo de matriz real arbitrária mxn.
Teorema de cardinalidade e nulidade para matrizes A mxn : rank A + nul A = n , ou seja dim R(A) + dim N(A) = n .
Continuação
de exemplos de bases e dimensão de espaços lineares: espaço das matrizes reais
2x2, espaço das matrizes reais mxn, espaço Pn dos polinómios reais de grau ≤n , com n∈ℕ (dim Pn=n+1), espaço P de todos os polinómios reais (dim
P=#ℕ) , espaço C0([-1,1],ℝ) das funções
reais contínuas definidas no intervalo [-1,1] (dim C0([-1,1],ℝ) =∞, mas não
obtida a cardinalidade nem identificada uma base).
Propriedades gerais de bases de espaço linear V de dimensão finita (com dimV=n<∞):
(1) Todo S⊂V linearmente independente está contido numa base de V .
(2) Se S⊂V com #S=n é linearmente independente, então é uma base de V ,
(3) Se S⊂V com #S=n gera V, então é uma base de V ,
11ª Aula - Bases e dimensão de espaços lineares: definição e exemplos. Componentes de vectores numa base ordenada. Teorema da característica e nulidade para matrizes. Teorema da dimensão.
10 outubro 2016, 10:00 • Luis Magalhães
Base e dimensão de espaço linear: definição; existência e unicidade de representação de qualquer vector do espaço como combinação linear de uma base; definição de componentes ou coordenadas de vectores de um espaço numa base do espaço; bases ordenadas como sistemas de coordenadas ou referenciais.
Para uma matriz em escada de linhas U, as colunas com pivots são uma base do espaço das colunas, as linhas não nulas são uma base do espaço das linhas, as dimensões destes espaços são iguais e iguais à característica da matriz; uma base do núcleo obtém-se atribuindo às incógnitas livres de Ux=0 valores 0 com excepção de uma delas a que se atribui o valor 1 e obtendo a correspondente solução desse sistema de equações lineares; a dimensão do núcleo de U , chamada nulidade de U , é o nº de colunas menos a característica.
Exemplos de bases e dimensão de espaços lineares: base canónica de ℝn, dim ℝn=n ; uma base não canónica de ℝ2 e cálculo das correspondentes componentes de qualquer vector de ℝ2; determinação de bases dos espaços das colunas, das linhas e do núcleo de matriz em escada de linhas U ; característica de U + nulidade de U = nº n de colunas de U ( rank U + nul U = n , ou seja dim R(U) + dim N(U) = n ).
Exemplos de bases e dimensão de espaços lineares: determinação de bases dos espaços das colunas, das linhas e do núcleo de matriz em escada de linhas.
Determinação de bases dos espaços de linhas, de colunas e nulo de matriz real arbitrária mxn.
Teorema de cardinalidade e nulidade para matrizes A mxn : rank A + nul A = n , ou seja dim R(A) + dim N(A) = n .
Teorema da dimensão: Todo espaço linear V≠{0} tem bases, todas com a mesma cardinalidade, chamada dimensão de V, designada dim V. (dada a prova para caso de dimensão finita).
10ª Aula - Operações com subespaços lineares (cont.): união (revisão), soma, exemplos. Combinações lineares de vectores. Expansão linear de subconjunto de espaço linear; exemplos. Vectores/conjuntos linearmente independentes; exemplos e propriedades gerais. (Sala Qa)
10 outubro 2016, 09:00 • Luis Magalhães
Revisão: Uniões de subespaços lineares de um espaço linear podem não ser um espaço linear.
Soma de subconjuntos de espaço linear: definição, a soma de subespaços lineares de um espaço linear é espaço linear e é o menor subespaço linear do espaço linear considerado que contém a união dos subespaços lineares. A união de dois subespaços lineares de um espaço linear é um espaço linear se e só se um deles está contido no outro.
Combinações lineares de vectores de espaço linear: definição e exemplos.
Se A é matriz mxn real, Ax é combinação linear das colunas de A com coeficientes das colunas que são as componentes de x pela mesma ordem.
Expansão linear L(S) de ou espaço gerado por subconjunto S≠∅ de espaço linear V : definição de expansão linear de ∅ como L(∅)={0}. L(S) é um espaço linear; é o menor subespaço linear de V que contém S.
Exemplos de expansão linear de conjuntos: ℝ2 é gerado por dois (ou mais, possivelmente infinitos com cardinalidade numerável ou não) vectores não colineares; uma recta em ℝ2 que passa em 0 é gerada por um (ou mais) vectores ≠∅ ; o espaço linear dos polinómios reais de grau ≤n∈ℕ fixo pode ser gerado por n+1 (ou mais) polinómios (apropriados); o espaço linear de todos os polinómios reais pode ser gerado por um conjunto infinito numerável de polinómios (apropriados); o conjunto dos termos independentes b∈ℝm tais que existe pelo menos uma solução do sistema de equações lineares Ax=b , em que A é matriz mxn real, é o subespaço linear de ℝm gerado pelas colunas de A , a que se chama espaço das colunas de A , designado R(A) ; o sistema tem solução se e só se b∈R(A) . Chama-se espaço das linhas de A ao espaço linear gerado pelas linhas de A .
Vectores/conjuntos linearmente independentes e vectores/conjuntos linearmente dependentes: definição, exemplos de determinação se vectores dados são linearmente independentes ou dependentes (vectores em ℝn e aplicação da resolução de sistemas de equações lineares).
Independência linear (propriedades gerais): vectores que incluam o vector 0 são linearmente dependentes; vectores que incluam um par de vectores iguais são linearmente dependentes; se alguns dos vectores considerados são linearmente dependentes, todos são linearmente dependentes; se os vectores considerados são linearmente independentes, quaisquer deles são linearmente independentes; quaisquer vectores são linearmente dependentes se e só se pelo menos um deles é combinação linear dos outros.
As colunas de uma matriz A com componentes escalares são linearmente independentes se e só se o sistema de equações lineares Ax=0 tem solução única. Quaisquer n>m vectores de ℝm são linearmente dependentes.