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22ª Aula - Revisão de representações matriciais diagonais de transformações lineares e observações sobre a possibilidade de não existirem. Operações com transformações lineares. Isomorfismos de espaços lineares, definição e exemplos.
8 novembro 2016, 10:00 • Luis Magalhães
Revisão: Viu-se que para simplificar a compreensão do efeito de uma transformação linear T:V→V, com V um espaço linear de dimensão finita, convém, se possível, desacoplar a dependência das componentes da imagem em relação às do domínio em relação a uma base apropriada de V, o que corresponde a determinar uma base ordenada em que a representação matricial seja diagonal, e viu-se num exemplo com V=ℝ2 como encontrar uma tal base.
Este objectivo ideal nem sempre é realizável, mas é sempre possível desacoplar as dependência de componentes de modo a cada componente da imagem depender no máximo de duas componentes no domínio (com escalares complexos a mesma ou essa e a imediatamente seguinte), como se verá mais tarde.
Se V, W são espaços lineares com os mesmos escalares, designa-se L(V,W) o conjunto das transformações lineares de V em W e L(V)=L(V,V) .
Adição de transformações lineares e multiplicação de escalares por
transformações lineares. L(V,W) é espaço linear.
Dem.: a função 0 de V em W é transformação linear, pelo que L(V,W)≠∅ , os axiomas de
fecho das operações verificam-se, L(V,W)⊂WV=Xv∈VAv , com Av=W e viu-se que produtos cartesianos de espaços
lineares (mesmo que infinitos de qualquer cardinalidade) são espaços lineares
(com as operações definidas ponto a ponto).
Composições de transformações linearesTS=T∘S quando possíveis (por o contradomínio de S estar contido no domínio de T) são transformações lineares. Propriedades gerais da composição: associatividade, distributividade à esquerda e direita (não comutatividade em geral).
Definição de potências inteiras de T∈L(V,W) com T(V)⊂V e propriedade Tm+n=TmTn, n,m∈ℕ∪{0}.
Se V,W são espaços lineares, dimV=n, dimW=m∈ℕ com escalares em |K, fixadas bases ordenadas de V e W, a função M:L(V,W)→|Kmxn tal que M(T) é a representação matricial de T nessas bases, é bijectiva e M(T1+T2)=M(T1)+M(T2) pata T1,T2∈L(V,W) e M(cT)=cM(T) para T∈L(V,W), c∈|K , ou seja M transforma as operações de espaço linear de transformações lineares nas correspondentes operações de matrizes.
Definição: Se U,V,W são espaços lineares, dimU=p, dimV=n, dimW=m∈ℕ com escalares em |K, fixadas bases ordenadas de U,V,W, a função M:L(U,V)∪L(V,W)∪L(U,W) → |Knxp∪|Kmxn∪|Kmxp∪ tal que M(T) é a representação matricial de T nas respectivas dessas bases, e S∈L(U,V), T∈L(V,W) são tais que a composição TS é possível, então M(TS) = M(T) M(S) , ou seja a composiçãod e transformações lineares corresponde ao produto das matrizes que as representam nas bases consideradas.
Definição: Diz-se que espaços lineares V, W são isomorfos se têm os mesmo escalares e existe uma bijecção f de V sobre W que respeita as operações de espaço linear, ou seja f(u+v)=f(u)+f(v) , f(cu)=f(cu) , para todos u,v∈V, c escalar. Chama-se a f um isomorfismo de V em W e se V e W são espaços lineares isomorfos escreve-se V≈W.
Observação: Espaços lineares isomorfos têm as mesmas propriedades; são o mesmo espaço exceptuando mudança de nomes dada pelo isomorfismo. A noção é útil porque propriedades num deles verificam-se também no outro.
Proposição: Um isomorfismo entre espaços lineares é uma transformação linear bijectiva de um no outro.
Exemplos:
(1) Se V,W são espaços lineares com escalares em |K e dimV=n, dimW=m∈ℕ , o espaço das tranformações lineares L(V,W) e das matrizes mxn |Kmxn são isomorfos, L(V,W)≈|Kmxn; um isomorfismo é a função M:L(V,W)→|Kmxn tal que M(T) é a representação matricial de T em bases ordenadas fixas de V e W .
(2) Um espaços linear de dimensão finita n com escalares em IK é isomorfo a IKn (fixada uma base de V, um isomorfismo é a função que transforma cada vector na n-pla ordenada das respectivas componentes na base).
Proposição: Espaços lineares de dimensão finita com os mesmos escalares são isomorfos se e só se têm a mesma dimensão.
21ª Aula - Revisão e complementação sobre cónicas, incluindo descrição geométrica em termos de foco, directriz e excentricidade e propriedades de reflexão; referência a geometria analítica de 1º e 2º grau e a equações quadráticas em ℝn. Continuação de exemplos de determinação de representação matricial de transformações lineares e de interpretação geométrica do efeito de transformações lineares.
7 novembro 2016, 10:00 • Luis Magalhães
Revisão: Descrições geométricas de curvas cónicas (secções planas de superfícies cónicas de revolução; elipses como lugar geométrico de pontos de um plano com soma de distâncias a 2 pontos fixos (focos) constante, hipérboles idem com diferença em vez de soma, parábolas como distância a um foco e a uma recta directriz iguais) e equações cartesianas em sistemas de eixos coordenados ortogonais coincidentes com os eixos de simetria da cónica para elipses, parábolas e hipérboles.
Descrição geométrica unificada de cónicas: curvas planas em que a distância de cada ponto a um ponto fixo (foco) é igual à distância a uma recta fixa (directriz) multiplicada por uma constante e (excentricidade); elipse se 0<e<1, parábola se e=1, hipérbole se e>1. Também se considera as circunferências cónicas. Propriedades de reflexão de parábolas, elipses e hipérboles, referência a aplicações em antenas, acústica e óptica. Referências históricas: as cónicas foram introduzidas na Antiguidade para questões geométricas, em 1609 Galileu descobriu que as trajectórias de projecteis quando se pode desprezar o atrito do ar são parábolas e Kepler que órbitas de planetas em torno do Sol são elipses; em 1687 Newton tendo em conta estas observações propôs a Lei da Gravitação Universal: a força gravitacional entre duas massas é atractiva proporcional ao produto das massas e inversamente proporcional à distância entre elas.
Referência a geometria analítica do 1º grau e do 2º grau em ℝn. O conjunto das soluções de uma equação quadrática Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey=F, com A,B,C,D,E,F constantes reais, além dos conjuntos da geometria analítica do 1º grau das soluções de Dx+Ey=F (1 recta, o plano, ∅), podem ser quando pelo menos um A,B,C não é nulo uma das cónicas (elipse, parábola, hipérbole, circunferência) ou uma cónica degenerada (2 rectas concorrentes ou paralelas, 1 ponto, ∅). Para obter equações cartesianas de cónicas como as dadas para coordenadas correspondentes a eixos de coordenadas ortogonais e de simetria das cónicas é preciso: (1) mudar de origem de coordenadas por translação para o centro de simetria da cónica no caso de elipses ou hipérboles ou para o vértice no caso de parábola; (2) mudar de coordenadas por mudança de base correspondente a uma rotação para os vectores da base serem na direcção dos eixos de simetria no caso de elipses ou hipérboles, ou o eixo de simetria e a recta perpendicular que passa no vértice. (a ser visto visto no final da disciplina).
Continuação de exemplos de representações matriciais de transformações lineares: (1) Derivação no espaço de polinómios de grau ≤n; (2) Obtenção de base de ℝ2 em que transformação linear T:ℝ2→ℝ2 tal que T(x,y)=(3x+2y,x+2y) tem representação matricial diagonal (desacoplamento de variáveis, direcções invariantes, aplicação para identificação da deformação de circunferências centradas na origem por aplicação de T : são transformadas em elipses; referência a deformações de membranas planas elásticas).