Sumários
25ª Aula - Produtos internos e espaços euclidianos: motivação, definição, noções básicas (projecção ortogonal, norma, ortogonalidade, ângulo) e desigualdade de Cauchy-Schwarz. Produtos internos canónicos em ℝn e ℂn. Matriz adjunta e cálculo de produtos internos canónicos com operações de matrizes. Conjunto ortonormal de vectores. Exemplos de produtos internos não canónicos em ℝn e consequências.
15 novembro 2016, 10:00 • Luis Magalhães
Produto interno: motivação geométrica com projecções ortogonais, definição (referência a simetria e simetria hermitiana para espaços lineares, respectivamente, reais e complexos). Espaço euclidiano é um espaço linear real ou complexo com produto interno.
Definições num espaço euclidiano: norma ou comprimento de vector, projecção ortogonal de vector sobre vector ≠0 , vectores ortogonais, ângulo entre vectores ≠0 .
Desigualdades de Cauchy-Schwarz.
Produtos internos canónicos em ℝn e em ℂn, cálculo de normas, ângulos, ortogonalidade e conjunto dos pontos equidistantes da origem (em ℝn é uma superfície esférica no espaço n-dimensional; no caso de ℝ2 é uma circunferência; no caso de ℝ3 é uma superfície esférica neste espaço).
Exemplos de produtos internos não canónicos em ℝ2: exemplos em que os vectores da base canónica têm comprimentos ≠1 e não são ortogonais, e em que os conjuntos de pontos equidistantes da origem são elipses, e modo de determinar essas elipses.
24ª Aula - Revisão do Teorema da Característica e da Nulidade. Exemplos geométricos de dim(V+W) + dim(V∩W) = dim V + dim W . Soma directa de subespaços lineares e projecções sobre um espaço paralelamente a outro. Continuação de aplicações do Teorema da Característica e da Nulidade: característica e nulidade de operações de transformações lineares (adição e composição). Propriedades básicas de transformações lineares invertíveis.
14 novembro 2016, 10:00 • Luis Magalhães
Revisão: Teorema da Característica e da nulidade para transformações lineares e aplicações: (1) Se V,W são espaços lineares com os mesmos escalares e T∈L(V,W) , então rank T + nul T = dim V ; (2) Se V,W são subespaços lineares de um espaço linear U , então dim(V+W) + dim(V∩W) = dim V + dim W .
Exemplos geométricos em ℝ3 e ℝ2 de dim(V+W) + dim(V∩W) = dim V + dim W (também válida para dimensão infinita).
Soma directa de subespaços lineares V,W de um espaço linear U : definição, notação, exemplos, existência de decomposição única de vectores em U como soma de um vector de V com um vector de W, projecção de U sobre V ao longo de (ou paralelamente a) W ; esta projecção existe se e só se U é soma directa de V com W e, então, dim U = dim V + dim W ; diz-se que W é o espaço complementar de V e vice versa, PW=1U-PV é a projecção de U sobre W ao longo de V, diz-se que é a projecção complementar de PV . PV é uma transformação linear de U sobre V, (PV )2=PV , R(P)=P(U)=V, N(P)=W .
Aplicação do Teorema da Característica e da
Nulidadea operações de
transformações lineares:
(1) Se S,T∈L(V,W) , então rank S+T ≤ rank S + rank T - dim R(S)∩R(T) .
(2) Corolário: Se S,T∈L(V,W) , então rank S+T ≤ rank S + rank T (a característica de transformações lineares é subaditiva).
(3) Se T∈L(U,V) e S∈L(V,W) , então rank T + rank S - dim V ≤ rank ST ≤ min{rank S , rank T} .
(4) Se T∈L(U,V), S∈L(V,W) e dim U = dim V, então max{nul T, nul S} ≤ nul ST ≤ nul S + nul T (Lei da nulidade de Sylvester).
Se
T é uma transformação linear com domínio V, então as afirmações seguintes são
equivalentes:
(1) T é injectiva;
(2) T é invertível e T -1 é uma transformação linear de T(V) em V ;
(3) T é isomorfismo do espaço linear V no espaço linear T(V) ;
(4) N(T)={0} ;
(5) dim T(V)=rank T = dim V ;
(6) T transforma vectores linearmente independentes em vectores linearmente
independentes;
(7) T transforma bases de V em bases de T(V) .
(Prova de (1)⇒(2)⇒(3)⇒(4)⇒(1), (4)⇔(5), (3)⇔(7)⇔(6) ).