Sumários

Aula prática 13

16 Dezembro 2016, 09:30 Rosa Sena-Dias

Formas canónicas de Jordan.


Aula prática 13

16 Dezembro 2016, 08:00 Rosa Sena-Dias

Formas canónicas de Jordan.


Aula prática 13

15 Dezembro 2016, 11:00 Rosa Sena-Dias

Formas canónicas de Jordan.


37ª Aula - Revisão de propriedades de transformações normais num espaço euclidiano complexo de dimensão finita V (e de matrizes normais), e relação dos subespaços invariantes de transformação linear em V com os da conjugada. Existência de representação matricial em alguma base ortonormal triangular para qualquer transformação linear e diagonal para transformação normal em espaços euclidianos complexos de dimensão finita, e decomposição espectral de transformação normal. Transformações hermitiana, antihermitiana e unitária e resp. valores próprios. Exponenciais de matrizes quadradas reais ou complexas.

15 Dezembro 2016, 10:00 Luis Magalhães

Revisão: 
(1) Uma matriz real ou complexa nxn A é diagonalizável (como matriz complexa) por uma matriz unitária C (i.e. C*AC seja diagonal  (i.e. tal que C-1=C*, ou seja com as colunas (e as linhas) de C ortonormais) ⇒ A é normal (i.e. A*A=AA*).
(2) Uma transformação linear T∈L(V) , com V espaço euclidiano complexo de dimensão finita, tem representação matricial diagonal em alguma base ortonormal ⇒ T é normal.
(3) Se S é subespaço linear de um espaço euclidiano V de dimensão finita e T∈L(V) , então S é invariante sob T (i.e. T(S)⊂S ) ⇔ S é invariante sob T* (dem.: v∈S ⇒ v⊥T(u) ∀u∈S ⇒ <u,T*(v)>=<T(u),v>=0 ∀u∈S ⇒ T*(v)∈S; logo, T*(S )⊂S. A inclusão no outro sentido prova-se trocando T com T* e S com S, pois T**=T e S=S ).

Teorema de Schur: Toda T∈L(V) , com V espaço euclidiano complexo de dimensão finita  tem representação matricial triangular inferior (ou superior) em base ortonormal de V apropriada (dem.: por indução na dimensão n com base na existência de pelo menos um valor próprio complexo de T* com valor próprio u de norma 1 e no complemento ortogonal do espaço gerado por u ser invariante sob T e ter dimensão n-1 com dim V=n).

Corolário: Toda matriz quadrada real ou complexa A é triangularizável em matriz complexa (triangular inferior ou superior) por alguma matriz unitária C .

Decomposição espectral de transformações normais: T∈L(V) , com V espaço euclidiano complexo e dim V=n finita tem representação matricial diagonal em alguma base ortonormal de V ⇔ T é normal. 
Em caso afirmativo T=ΣjλjPj , em que λj são os valores próprios de T sem repetições e as Pj são projecções ortogonais duas a duas (i.e. Pj(V)⊥Pk(V) para j≠k) (são as projecções ortogonais sobre os espaços próprios dos correspondentes valores próprios de T). (dem.: ⇒ já provado; ⇐ resulta de representação matricial triangular D numa base ortonormal adequada de uma transformação normal satisfaz ||Db||=||D*b|| para todo b∈ℂn, pelo D é diagonal; a decomposição espectral é consequência imediata de D ser diagonal).

Corolário: Uma matriz quadrada real ou complexa A é diagonalizável em matriz complexa por alguma matriz unitária C ⇔ A é normal. 

As matrizes A hermitianas (i.e. A*=A), antihermitianas (i.e. A*=-A), unitárias (i.e. A*A=I=A*) são normais (logo, as matrizes reais simétricas, antisimétricas, ortogonais são normais).

Definição: T∈L(V) é hermitiana se T=T*, é antihermitiana se T=T*, é unitária se T-1=T*.

Proposição: Té hermitiana ⇔ <T(u),v>=<u,T(v)> ∀u,v∈V, é antihermitiana ⇔ <T(u),v>=-<u,T(v)> ∀u,v∈V, é unitária ⇔ <T(u),T(v)>=<u,v> ∀u,v∈V,

Se T∈L(V) tem representação matricial A numa base ortonormal, T é hermitiana, antihermitiana ou unitária se e só se A é, resp., hermitiana, antihermitiana ou unitária.

Os valores próprios de T∈L(V) hermitianas, antihermitianas ou unitárias são, respectivamente, nºs reais, imaginários puros ou complexos de módulo 1.

Exemplo concreto com matriz simétrica: diagonalizaável para matriz diagonal real com transformação de semelhança ortogonal.

Observação: Fica-se a conhecer uma classe ampla de matrizes quadradas diagonalizáveis por transformações de semelhança unitárias (que correspondem a mudanças de bases ortonormais), nomeadamente as matrizes normais, que incluem matrizes facilmente identificáveis como matrizes hermitianas, antihermitianas ou unitárias (no caso de matrizes reais, matrizes simétricas, antisimétricas ou ortogonais).

Exponencial eAt de matriz nxn A real ou complexa: definição pela solução matricial nxn x(t) de x'(t)=Ax(t) com condição inicial x(0)=In e exemplificação de cálculo de eAt quando A é diagonal, diagonalizável, bloco de Jordan, forma canónica de Jordan e matriz quadrada real ou complexa arbitrária,

Observação: Viu-se a propósito de números complexos como definir exponencial complexa com extensão de exponencial real, e agora como definir exponencial de matriz quadrada real ou complexa.


Aula prática 13

14 Dezembro 2016, 11:00 Rosa Sena-Dias

Formas canónicas de Jordan.