Sumários
23ª Aula - Revisão da noção de isomorfismo de espaços lineares e exemplos fundamentais. Propriedades básicas de isomorfismos de espaços linearesContradomínio e núcleo de transformação linear. Teorema da Característica e da Nulidade e aplicação a relação das dimensões de subespaços lineares com as respectivas soma e intersecção.
10 novembro 2016, 10:00 • Luis Magalhães
Revisão:
(1) Isomorfismo de espaços lineares;
(2) um espaço linear com escalares em IK e de dimensão finita n é isomorfo a |Kn; um isomorfismo é a função que, fixada uma base ordenada do espaço transforma cada vector na n-pla ordenada das suas componentes;
(3) o espaço linear das transformações lineares de um espaço linear de dimensão finita n num espaço linear de dimensão finita m com escalares em IK é isomorfo ao espaço das matrizes IKmxn; um isomorfismo é a função que, fixadas bases ordenadas uma do domínio e outra do espaço de chegada, transforma cada transformação linear na representação matricial nessas bases.
Espaços lineares com os mesmos escalares são isomorfos se e só se têm a mesma dimensão.
Isomorfismos
de espaços lineares transformam:
(1) 0 em 0 ;
(2) vectores linearmente independentes em vectores
linearmente independentes,
(3) expansões lineares de conjuntos de vectores em
expansões lineares das imagens desses vectores,
(4) bases em bases.
Contradomínio ou imagem de transformação linear T de V em W: definição (notação T(V), R(T)) , é espaço linear, à dimensão chama-se característica (notação rank T).
Núcleo ou espaço nulo ou espaço de anulação de transformação linear: definição (notação N(T) ), é espaço linear, à dimensão chama-se nulidade (notação nul T).
Teorema
da característica e da nulidade de transformações lineares T de V em W : Se T∈L(U,V) , então
nul T + rank T = dim V .
Dem. para dimensão finita (usando o resultado análogo para matrizes e
isomorfismo de espaço linear de dimensão finita n no espaço linear das n-plas
ordenadas de escalares que a cada vector atribui as respectivas componentes
numa base fixada para o espaço). Demonstração de que um lado da igualdade com
um termo de dimensão infinita implica que um termo do outro lado da igualdade
tem dimensão infinita.
Aplicação do Teorema da Característica e da Nulidade para obter a relação entre as dimensões da soma e da intersecção de espaços lineares e as dimensões desses espaços lineares: Se V,W são subespaços lineares de um espaço linear U , então dim(V+W) + dim(V∩W) = dim V + dim W (demonstração com transformação linear T que define isomorfismo entre N(T) e V∩W).