Sumários
Aula 11
29 novembro 2016, 11:00 • Rosa Sena-Dias
Aplicações da noção de produto interno (Continuação)
30ª Aula - Continuação de exemplos de espaços euclidianos: Revisão: espaços de matrizes reais e de matrizes complexas com produtos internos canónicos; espaços de sucessões de termos reais e de termos complexos; espaços de funções reais e de funções complexas contínuas definidas num intervalo limitado e fechado de ℝ . Exemplo de conjunto numerável ortonormal (exponenciais complexas com expoentes com coeficientes inteiros) em C([0,2π],ℂ) e em C([0,2π],ℝ) (1, sin(kt), cos(kt) com k natural). Aproximações óptimas de funções contínuas por polinómios trigonométricos e referência a séries de Fourier.
29 novembro 2016, 10:00 • Luis Magalhães
Exemplos de espaços euclidianos:
Revisão: (1) ℝmxn espaço das matrizes reais com o produto interno canónico A.B=∑i ∑j aijbij =tra(BtA) .
(2) ℂmxn espaço complexo das matrizes complexas A.B=tra(B*A) .
(3) V00⊂ℝℕ espaço linear das sucessões de termos reais com termos nulos a partir de alguma ordem com <{un},{vn}>=limm→∞∑mn=1unvn .
(4) V00⊂ℂℕ com <{un}, {vn}>=limm→∞∑mn=1unvn .
(5) ℓ2⊂ℝℕ espaço linear das sucessões de termos reais {un} tal que wm=∑mn=1|un|2 é sucessão majorada com <{un},{vn}>=limm→∞∑mn=1unvn .
(6) ℓ2⊂ℂℕ análogo com <{un},{vn}>=limm→∞∑mn=1unvn.
(7) C0([a,b],ℝ) com <f,g>=∫[a,b] fg .
(8) C0([a,b],ℂ) com <f,g>=∫[a,b] fg .
Prova de:
(a) No espaço euclidiano C0([0,2π],ℂ) o conjunto {Ek: k∈ℤ}, em que Ek(t)=eikt/(2π)1/2, é ortonormal.
(b) No espaço euclidiano C0([0,2π],ℝ) o conjunto { φj : j∈ℕ∩{0} }, em que φ0(t)=1/(2π)1/2 , φ2k-1(t)=sin(kt)/(π)1/2 , φ2k(t)=cos(kt)/(π)1/2 para k∈ℕ, é ortonormal.
Chama-se polinómio trigonométrico de ordem n a uma função real de variável real tal que Pn(t)=a0+∑nk=1akcos(kt)+∑nk=1bksin(kt) , com a0, ak, bk∈ℝ .
O conjunto Sn dos polinómios trigonométricos de grau n definidos em [0,2π] é um subespaço linear de C0([a,b],ℝ) de dimensão 2n+1.
Dada uma função f∈C0([0,2π],ℝ), o polinómio trigonométrico de grau n mais próximo de f é a projecção ortogonal de f em Sn , ou seja é o polinómio trigonométrico Pn com coeficientes a0=[1/(2π)] ∫02πf (a média de f), ak= (1/π) ∫02πf(t) cos(kt) dt , bk= (1/π) ∫02πf(t) sin(kt) dt.
Logo, ||f-Pn||≤||f-Q|| para todo Q∈Sn.
A sucessão ||f-Pn|| é monótona decrescente.
Se converge para 0 é f(t)=limm→∞Pn(t) = a0+∑∞k=1 akcos(kt)+∑∞k=1 bksin(kt) , a que se chama série de Fourier de f .
Uma condição suficiente para convergência é f ser diferenciável em [0,2π] e f(0)=f(2π) , mas também há convergência para certas funções não diferenciáveis.
Portanto, as funções de uma vasta classe são representáveis em termos de funções trigonométricas por séries de Fourier.
29ª Aula - Aplicações de ortogonalidade: (1) Revisão: minimização de distância de um ponto a pontos de um subespaço linear, soluções de quadrados mínimos de sistemas de equações lineares impossíveis; (2) Continuação: regressão linear, equações cartesianas de planos, alternativa de Fredholm. Continuação de exemplos de produtos internos e espaços euclidianos: produto interno canónico no espaço das matrizes reais mxn e no espaço das matrizes complexas mxn.
28 novembro 2016, 10:00 • Luis Magalhães
Revisão de aplicações de ortogonalidade:
(1) Minimização: Se V é um espaço euclidiano (de dimensão finita ou infinita) com decomposição em soma directa V=S⊕S⊥ e x∈V, existe um único elemento de S a distância mínima de x , que é a projecção ortogonal de x sobre S (prova: Fórmula de Pitágoras).
(2) Soluções de quadrados mínimos de sistemas de equações lineares Ax=b em ℝn e ℂn com A mxn (mesmo para sistemas impossíveis): são as soluções de A*Ax=A*b ; se A*A é não singular (em particular se rank A=n), é única x=(A*A)-1A*b .
Continuação de aplicações de ortogonalidade:
(3) Regressão linear: se (t1,y1), ..., (tn,ym)∈ℝ2, existe uma única recta de ℝ2 y=Ct+D que melhor aproxima estes pontos no sentido de quadrados mínimos ∑j |yj-(Ctj+D)|2 se os pontos não estão todos numa recta vertical (caso contrário essa recta passa em todos os pontos) e (C,D) é a única solução de quadrados mínimos do sistema Ctj+D=yj , j=1,...,m, que dada como em (2)
(4) Equações cartesianas de planos-k P⊂ℝn: A(x-p)=0 com p∈P e A com (n-k) linhas que são uma base de S⊥ , em que S=P-{p} .
(5) Alternativa de Fredholm: R(A)⊥=N(A*) , R(A)=N(A*)⊥, R(A*)⊥=N(A) , R(A*)=N(A)⊥. Se A é matriz mxn, em alternativa: (1) Ax=b tem solução para todo b , ou (2) A*y=0 tem soluções ≠0 .
Exemplos de espaços euclidianos:
(1) O espaço das matrizes reais ℝmxn com o produto interno canónico A.B=∑i ∑j aijbij =tra(BtA). Verificação de que é um produto interno, e que a base canónica é ortonormal. Cálculo de norma e ângulo entre matrizes.
(2) Analogamente no espaço complexo das matrizes complexas ℂmxn A.B=tra(B*A) .