Aula 22 (aula online)

25 maio 2021, 12:30 • Pedro Resende

Revisão da aula anterior. Exemplo de aplicação do algoritmo de Euclides para calcular o máximo divisor comum de dois polinómios de coeficientes racionais. Resolução de equações diofantinas de grau 1 num domínio de Bezout. Propriedade dos PIDs: qualquer ideal primo é maximal. Equivalência entre R[x] ser PID e R ser corpo (e portanto R[x] ser domínio euclidiano). Exemplo de extensão do anel dos inteiros que não é domínio de Bezout (sem ser o anel dos polinómios): extensão com raiz de –5.

Texto: [DF] secções 8.1 e 8.2

Exercícios: da secção 8.2

Aula 21 (aula online)

24 maio 2021, 14:30 • Pedro Resende

Relação entre máximos divisores comuns e ideais num anel comutativo com identidade. Unicidade (a menos de multiplicação por elemento invertível) do máximo divisor comum num domínio de integridade. Condição suficiente para existência de máximo divisor comum de a e b: (a, b) é ideal principal. Domínios de Bezout e domínios de ideais principais (PIDs). Algoritmo de divisão genérico: demonstração de que, se terminar, o algoritmo de Euclides calcula um máximo divisor comum. Anéis nos quais o algoritmo de Euclides termina: normas e domínios Euclidianos. Exemplos. Demonstração de que os domínios Euclidianos são PIDs. Exercício, em Z: mostrar que 1277 e 48 são co-primos e calcular o inverso de 48 mod 1277.

Problemas 22 (aula online)

21 maio 2021, 10:00 • Pedro Resende

Exercícios de avaliação contínua: [DF] secção 7.1 — 16, 30; secção 7.2 — 13; secção 7.3 — 4, 20, 22, 34.

Aula 20 (aula online)

20 maio 2021, 16:00 • Pedro Resende

Anéis de fracções de anéis comutativos. Propriedade universal. Corpo de fracções de um domínio de integridade. Três exercícios resolvidos: §7.4-15, §7.6-2, §7.6-5(a).

Texto: [1] §7.5.

Exercícios recomendados: das secções §7.4–§7.6.

Aula 19 (aula online)

18 maio 2021, 12:30 • Pedro Resende

Ideais maximais versus corpos. Ideais primos versus domínios de integridade. Exemplos. Produtos directos de anéis. Ideais co-maximais. Teorema chinês do resto e corolários, incluindo a multiplicatividade da função de Euler.

Texto: [DF] secção 7.4 (de p. 253 em diante) e secção 7.6.

Exercícios recomendados: das secções 7.4 e 7.6.