Sumários

Teste (aula online)

4 Junho 2021, 10:00 Pedro Resende

Segundo teste de avaliação contínua


Aula 25 (aula online)

1 Junho 2021, 12:30 Pedro Resende

Demonstração de que os domínios de ideais principais são domínios de factorização única. Conclusão da caracterização dos domínios de ideais principais por meio de normas de Dedekind–Hasse. Resolução do exercício 8a da secção 8.1 com D = –3.

Texto e exercícios: [DF], secção 8.3 (não vimos a última parte da secção, sobre a factorização em Z[i]).


Aula 24 (aula online)

31 Maio 2021, 14:30 Pedro Resende

Lema: PIDs são anéis noetherianos. Elementos irredutíveis e elementos primos de um domínio de integridade. Equivalência destas duas noções em domínios de ideais principais. Domínios de factorização única. Alguns exemplos. Equivalência de primos e irredutíveis em domínios de factorização única. Máximos divisores comuns em domínios de factorização única.

Texto e exercícios: [DF], secção 8.3.


Problemas 23 (aula online)

28 Maio 2021, 10:00 Pedro Resende

Exercícios de avaliação contínua, das secções 7.4 (5, 6, 10, 16, 33), 7.5 (3) e 7.6 (1) de [DF].


Aula 23 (aula online)

27 Maio 2021, 16:00 Pedro Resende

Corpos quadráticos e anéis de inteiros quadráticos (secção 7.1—pp. 227, 229 e 230). O anel dos inteiros gaussianos Z[i]. Algoritmo de divisão em Z[i] baseado na divisão no corpo dos racionais gaussianos Q(i)  e consequente conclusão de que o anel Z[i] é um domínio euclidiano. Exercício 7 da secção 8.1 (cálculo de um máximo divisor comum em Z[i] usando o algoritmo de Euclides). Estudo do anel dos inteiros quadráticos O da extensão do corpo dos racionais com a raiz quadrada de –19. Divisores laterais universais e prova de que O não é um domínio euclidiano. Condição suficiente para um domínio de integridade ser um PID: existência de uma norma de Dedekind–Hasse (ver-se-á depois que a condição é necessária e suficiente). Prova de que O é um PID, e conclusão de que a classe dos domínios euclidianos está estritamente contida na dos PIDs.

Texto: [DF]  secção 7.1 (pp. 227, 229 e 230), secção 8.1 e secção 8.2.

Exercícios: secção 8.1, 8–12 e secção 8.2, 2–8.