51ª Aula - Revisão de T. da Divergência em  ℝn e casos particulares para n=3 (T. de Gauss) e n=2 (T. de Green). Motivação e prova do T. de Stokes em domínios regulares de variedades-2 em ℝ3, com a obtenção da correspondente fórmula e, em particular, do operador diferencial (rotacional) apropriado aplicando uma parametrização ao T. de Green. Definições de domínio regular e de bordo de variedade diferencial.

27 maio 2019, 11:30 • Luis Magalhães

Revisão: TFC para Integrais Múltiplos ou T. da Divergência em ℝⁿ: Se D⊂ℝⁿ é um domínio regular e  f:D→ℝⁿ é C¹,  é ∫_Ddiv f = ∫_∂Df·ν . 

Observação: Se n=3, o TFC (para integrais triplos) chama-se Teorema de Gauss. Se n=2, chama-se Teorema de Green.

Teorema de Green (TFC para integrais duplos): Se  D⊂ℝ² é um domínio regular, ∂D é união finita de curvas regulares simples fechadas e P,Q:D→ℝ são C¹,  então ∫∫_D(∂Q/∂x-∂P/∂y) dx dy = ∫_∂DPdx+Qdy, em que o integral de linha no lado direito é no sentido positivo (antihorário ou contrário ao dos ponteiros do relógio; o caminho tem o domínio à esquerda) relativamente a D (quando visto de um ponto de D suficientemente próximo da parte correspondente de ∂D .
(Dem. Aplicar o TFC para integrais múltiplos com f=(Q,-P) , observando que se g é caminho que descreve uma curva regular fechada simples de ∂D , com ||g´||=1 ,  então a normal exterior unitária de D é ν=(g´₂,-g´₁) ).

Observação: O TFC pode ser usado para calcular integrais do lado direito em termos de integrais do lado esquerdo da correspondente fórmula: integrais múltiplos em termos de integrais em hipervariedades, integrais duplos em termos de integrais de linha, integrais de superfície em ℝ³ em termos de integrais de linha e viceversa. Por exemplo, pode ser usado para calcular volume-n de domínios regulares por integrais de hipervariedades, áreas de em termos de integrais de linha. Pode-se calcular fluxos de um campo vectorial F através de superfícies que são domínios regulares em variedade-2 em ℝ³ por integrais de linha no bordo, escolhendo v_f=F, e até áreas de superfícies escolhendo v_f·n=1, e vice-versa pode-se calcular integrais de linha no bordo (circulação, trabalho) de um campo vectorial calculando o fluxo de v_f na superfície.

Motivação: TFC em domínios regulares de variedades-2 em ℝ³ (T. de Stokes em ℝ³). Obtenção do operador diferencial v_f a utilizar no integral num domínio regular A de uma vizinhança de coordenadas de uma variedade-2 em ℝ³  a partir da parametrização g correspondente e do T. de Green em ℝ², ou seja da projecção do rotacional na normal unitária D₁gxD₂g/||D₁gxD₂g|| a A induzida pela parametrização, designadamente obtenção de fórmula para o rotacional de um campo vectorial (aplicação simples de Álgebra Linear).

Definições: 
(1) Se S⊂ℝⁿ é aberto e f:S→ℝ³, chama-se rotacional de f a rot f =(D₂f₃-D₃f₂ , D₃f₁-D₁f₃ , D₁f₂-D₂f₁) . Também se designa por ∇xf .
(2) Chama-se domínio regular A numa variedade-m M em ℝⁿ a um subconjunto de M limitado e aberto relativamente a M tal que ∂A é uma variedade-(m-1) em ℝⁿ e ∂A=∂A , em que, para S⊂M , ∂S é a fronteira de S relativamente a M , ∂S=S\S , a que se chama bordo de S.

T de Stokes (TFC para integrais em variedade-2 de ℝ³): Se M⊂ℝ³ é uma variedade C² orientável, com orientação n , A⊂M é um domínio regular em M , f é um campo vectorial C¹ em A com valores em ℝ³, β designa caminho(s) regular(es) simples fechados que representam o bordo ∂A , então ∫_Arot f·n = ∮_∂Af·dβ .

Dem.: 
(1) localmente para funções com suporte numa vizinhança de coordenadas de M feito quando se motivou e obteve uma fórmula para o rotacional. 
(2) globalmente (tal como para o T. da Divergência usam-se partições da unidade para juntar as contribuições locais).  

Exercícios das fichas 10 (Extremos condicionados) e 12 (teoremas de Green e da divergência)

27 maio 2019, 10:00 • Manuel Paulo de Oliveira Ricou

Ficha 10: 1 (a), 2, 4, 5 (b)

50ª Aula - Revisão do Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) para integrais simples e integrais de linha. TFC para integrais múltiplos em domínios regulares. Definição de divergência e descrição geométrica/física.

24 maio 2019, 11:30 • Luis Magalhães

Revisão e motivação: Teorema Fundamental do Cálculo para integrais simples num intervalo [a,b]⊂ℝ e para integrais de linha num caminho g:[a,b]→ℝⁿ e ideia de estabelecer resultado análogo para integrais múltiplos em conjuntos abertos limitados de D⊂ℝⁿ com fronteira ∂D que é uma variedade-(n-1) que dá a igualdade do integral múltiplo em D de uma função definida por derivadas de um campo vectorial f a um integral de uma função definida por valores de f na variedade-(n-1) ∂D.

Definição: Domínio regular em ℝⁿ é D⊂ℝⁿ limitado e aberto tal que qualquer que seja a∈∂D existe aberto U , com a∈U e função C¹ Φ:U→ℝ tais que ∇Φ≠0 em U , Φ=0 é equação cartesiana de ∂D em U e D∩U={ x∈U: Φ(x)<0} .

Proposição: Todo domínio regular em D em ℝⁿ tem uma normal exterior unitária única definida e contínua em ∂D ; com a notação da proposição precedente, é a função n:∂D→ℝⁿ tal que n=∇Φ/||∇Φ|| .
(Dem.: Localmente ∂D é o conjunto de nível 0 de Φ , pelo que ∇Φ é ortogonal a ∂D . ν é contínua em ∂D porque é quociente de funções contínuas com denominador ≠0 . o conjunto dos vectores ortogonais a ∂D num ponto x∈∂D é um espaço linear unidimensional, pelo que tem exactamente dois vectores unitários, em sentidos opostos).

Proposição: Se D⊂ℝⁿ é domínio regular, ∂D é uma variedade-(n-1) compacta que tem pontos de D de um e só um dos seus lados.
(Dem.: ∂D tem equações cartesianas locais de funções escalares C¹ com gradiante  ≠0 que são as  condições em que equações cartesianas descrevem variedades-(n-1) em ℝⁿ. Como D é limitado, também ∂D é e como fronteiras de conjuntos são conjuntos fechados ∂D é um subconjunto limitado e fechado de ℝⁿ, logo compacto).

Proposição: D⊂ℝⁿ limitado e aberto é domínio regular se e só se ∂D é variedade-(n-1) compacta e ∂D=∂D (dem. no livro). 

Motivação do Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) para Integrais Múltiplos: Obtenção de fórmula para Teorema Fundamental do Cálculo em domínios regulares D⊂ℝⁿpara campo vectorial com suporte numa vizinhança de um ponto de ∂D em que a fronteira é gráfico de uma função C¹ de um aberto V⊂ℝ^n-1 em ℝ, observando que com translações e rotações de coordenadas é possível colocar uma vizinhança de um ponto de ∂D no espaço de modo a todos os seus pontos terem componentes positivas e a normal unitária também , e que com aplicação do TFubini e do TFCálculo para integrais simples se f é um campo vectorial C¹ em D obtém-se ∫_D ∂f_n/∂x_n= ∫_∂D f_nν_n . Com permutações de coordenadas obtém-se da mesma maneira ∫_D ∂f_j/∂x_j= ∫_∂D f_jν_j para todo j=1,...,n , e somando obtém-se ∫_D (∂f_j/∂x_j+ ··· + ∂f_n/∂x_n) = ∫_∂Df·ν.

TFC para Integrais Múltiplos: Se D⊂ℝⁿ é um domínio regular e f:D→ℝⁿ é C¹,  então ∫_D (∂f_j/∂x_j+ ··· + ∂f_n/∂x_n) = ∫_∂Df·ν .
(Dem.: Foi descoberta a forma do operador diferencial no integral múltiplo no lado esquerdo e do integral de valores da função em ∂D no lado direito ao obter a fórmula localmente para funções com suporte numa vizinhança de um ponto a∈∂D e, portanto, a fórmula é válida neste caso. Também é válida localmente para funções com suporte numa vizinhança de um ponto a∈D (mais fácil porque ambos os lados trivialmente 0 . Globalmente, usam-se partições da unidade para juntar as contribuições locais. Como D é compacto tem cobertura aberta finita ℱ={U₁, ..., U_N} tal que o resultado é válido para funções com suporte em cada um dos U_j . Se Ψ={ψ₁,..., ψ_N} é partição da unidade finita em D subordinada a ℱ, com supp ψ_j ⊂ U_j , de (1) e (2) é ∑_j ∫_Ddiv(ψ_j f) = ∑_j ∫_∂Dψ_jf·ν = ∫_∂Df·ν. Como div(ψ_j f) = ∇ψ_jf + ψ_j div f , é ∫_Ddiv(ψ_j f) = ∫_D∇(∑_jψ_j)f + ∑_j ∫_Dψ_j div f = ∫_Dψ_j div f , pois ∇(∑_jψ_j)=∇1=0 .).

Observação: ∂f_j/∂x_j+ ··· + ∂f_n/∂x_n=tra Df . Chama-se divergência de f , div f .

Observações:

(1) Se f é um campo de velocidade C¹ em S⊂ℝ³ aberto, ∫_∂D f·ν dá o fluxo para fora de D através de ∂D, ou seja a quantidade de matéria que sai de D através de ∂D por unidade de tempo.

(2) Para f é um campo de velocidade C¹ em S⊂ℝ³ aberto, considerando domínios regulares que contêm a  com diâmetro d e dividindo a fórmula do T. da Divergência prlo volume-n de D e fazendo d→0 obtém-se div f (a)=lim_d→0[1/Vol_m(D_d)] ∫_∂Ddf·ν , ou seja a divergência de um campo vectorial C¹ num ponto é o limite do fluxo do campo vectorial através da fronteira de domínios regulares que contêm o ponto por unidade de volume do domínio regular, quando o diâmetro desses domíniosregaulares tende para 0 . Assim a divergência de um campo vectorial num ponto é uma medida da tendência do campo vectorial para divergir à volta do ponto.

49ª Aula - Revisão: Método dos multiplicadores de Lagrange, e ilustração geométrica do conjuntos de nível. Exemplo concreto de aplicação deste método. Referência a condição suficiente para extremos condicionados com derivadas de 2ª ordem. Motivação da definição de integral de campo escalar em subconjunto de variedade diferencial não incluído numa únicavizinhança de coordenadas, com partições da unidade. Definição de integral de campo escalar em variedade subconjunto de variedade diferencial que não está incluído numa só vizinhança de coordenadas, com partições da unidade.

23 maio 2019, 13:00 • Luis Magalhães

Revisão: Método dos multiplicadores de Lagrange: Se f é um campo escalar diferenciável em S⊂M , com M uma variedade-m em ℝⁿ com m<n , para que f_|M tenha extremo relativo em a∈M , se F(x)=0 é equação cartesiana local de M e F está definida em a, é necessário que existam λ₁...λ_n-m∈ℝ tais que ∇f = λ₁∇F₁+ ⋯ + λ_n-m∇F_n-m. Aos números λ₁, ..., λ_n-m chama-se multiplicadores de Lagrange e F=(F₁, ..., F_n-m) . Ilustração geométrica com conjuntos de nível de f e com o conjunto de nível 0 de F.

Exemplo concreto de cálculo de extremos condicionados.

Observação: O método dos multiplicadores de Lagrange dá uma condição necessária para um ponto ser extremo de uma função de variáveis restritas a uma variedade-m; é a condição análoga de ponto de estacionaridade no caso de extremos livres de funções diferenciáveis. Podem-se obter condições suficiente de 2ª ordem de modo semelhante.

Motivação para definição de integrais em subconjuntos S de uniões de mais de uma vizinhança de coordenadas e uma variedade diferencial:
Envolve juntar contribuições de vizinhanças de coordenadas diferentes. Uma maneira de o fazer poderia ser particionando S em subconjuntos de modo a cada um estar contido numa vizinhança de coordenadas de M , mas isso exigiria assegurar que as fronteiras dos subconjuntos não criam problemas de integrabilidade e também exigiria provar que o integral é independente das partições possíveis. Uma outra ideia é juntar as contribuições de diferentes vizinhanças de coordenadas por somas ponderadas com funções de peso C^∞ não negativas que somam 1 e têm suporte compacto incluído numa vizinhança de coordenadas, chamadas partições da unidade por patirem a função constante igual a 1 em funções que somam 1, o que torna a globalização de resultados locais mais fácil.

Definições:
(1) Cobertura admissível de um conjunto S⊂M , em que M é uma variedade-m em ℝⁿ é uma cobertura ℱ de S por subconjuntos abertos de ℝⁿ tal que M∩U é uma vizinhança de coordenadas de M para todo U∈ℱ.
(2) Suporte de função φ:S→ℝ^m, com S⊂ℝⁿ designado supp φ é o fecho do conjunto em que φ é ≠0 .
(3) Partição da unidade em S⊂M subordinada a cobertura admissível de S, em que M é uma variedade-m em ℝⁿ, a um conjunto numerável Φ={φ₁,φ₂, ... } de funções φ_j:ℝⁿ→[0,1] C^∞ tais que ∑_jφ_j=1 em S , supp φ_j⊂K_j⊂U em que K_j é compacto e U∈ℱ e localmente apenas um nº finito de φ_j é ≠0 (i.e. ∀_x∈S∃_V⊂ℝⁿ aberto com _x∈V: V intersecta apenas um nº finito de supp φ_j ).

Proposição: Para qualquer conjunto S⊂M , em que M é uma variedade-m em ℝⁿ,  e cobertura admissível ℱ de S , existe partição da unidade em S subordinada a ℱ. 

Definições: 
(1) Um campo escalar f definido em S⊂M , em que M é uma variedade-m em ℝⁿ, é integrável se para uma cobertura admissível ℱ de S⊂M e uma partição da unidade Φ={φ₁,φ₂, ... } em S subordinada a ℱ ∑_j ∫_Sφ_j|f| existe e, em caso afirmativo, o integral de f em S é ∫_Sf = ∑_j ∫_Sφ_jf .
(2) Diz-se que S⊂M é mensurável, em que M é uma variedade-m em ℝⁿ, se a função constante igual a 1 é integrável em S e, em caso afirmativo o volume-m ou medida de S é ∫_S1 . Também se considera ∅ mensurável e com medida 0 .

Proposição: Integrabilidade e integral em subconjunto de variedade-m em ℝⁿ é invariante com mudança de cobertura admissível e de partição da unidade subordinada a tal cobertura.

Observações: 
(1) Os integrais em subconjuntos de variedades-m em ℝⁿ têm propriedades gerais semelhantes às de integrais múltiplos e integrais de linha. O centróide de um subconjunto S de uma variedade-m define-se por integrais análogos aos de integrais múltiplos. A partir de uma densidade de uma grandeza escalar em relação a a volume m-dimensional pode ser calculada a grandeza total num subconjunto da variedade por integração da densidade, o centro dessa grandeza no subconjunto (se a densidade for de massa o centro de massa, momentos de inércia em relação a rectas, etc.).
(2) As partições da unidade são um instrumento poderoso conceptual para globalizar propriedades locais, com aplicação em outras situações. Contudo, o cálculo em casos concretos passa por encontrar partições do tipo indicado no início e aplicar a aditividade do integral em relação ao domínio de integração (até numerável -- σ-aditividade -- se for usado integral de Lebesgue), legitimada pela definição de integral com partições da unidade.
(3) A ideia de partição da unidade deve-se independentemente a Jean Dieudonné e Solomon Bochner em 1937.
(4) A noção de integral em subconjuntos de variedades-m em ℝⁿ unifica as noções anteriores de integral simples, integral múltiplo, integral de linha e integral em vizinhanças de coordenadas de variedades-m em ℝⁿ; todas são casos particulares desta noção geral.

Exercícios das fichas 9 (variedades) e 10 (extremos condicionados) e 3º mini-teste

22 maio 2019, 11:00 • Manuel Paulo de Oliveira Ricou

Ficha 9: Exercício 1