32ª Aula - Revisão: Pode-se definir integral (de Lebesgue) de funções num intervalolimitado de ℝn como se pode definir ℝ completando o espaço linear normado  ℚ com a norma |q|: completando o espaço normado das funções integráveis à Riemann num intervalo limitado com a norma dada pelo integral do valor absoluto de cada função. Definição mais concreta: (1) Definição de função limite superior por limite de funções em escada e de integral (de Lebesgue) por expansão linear das funções limite superior em intervalo de ℝn. Aditividade e homogeneidade positiva do integral de funções limite superior. Verificação de que a função de Dirichlet em [0,1] é limite superior e tem integral 0 apesar de não ser integrável à Riemann, e exemplo de função limite superior com simétrica que não é limite superior. Linearidade do integral. Funções integráveis à Riemann são integráveis (à Lebesgue) e os integrais são iguais.

23 abril 2019, 11:30 • Luis Magalhães

Revisão: Integral (de Lebesgue): Como o integral de Riemann tem sérios defeitos (e.g. um conjunto de medida nula pode ter função característica não integrável à Riemann quando o integral deveria existir e ser 0 ) e desde há 115 anos tem interesse meramente didático (excepto em situações específicas restritas), é preciso considerar um integral sem esses defeitos. Uma definição poderia ser tal e qual se pode definir ℝ como o menor espaço linear normado completo que contém ℚ com a norma |q| (para que sucessões de Cauchy sejam convergentes), que é uma maneira de definir irracionais a partir dos racionais e que aplicada a integral de Riemann alargar o conjunto das funções integráveis a partir das funções integráveis à Riemann:

Designa-se o conjunto das funções integráveis à Riemann num intervalo limitado I⊂ℝⁿ por R(I) e as funções integráveis à Lebesgue em I por L(I). Considera-se o espaço linear R(I) com a norma ||f||₁=∫_I |f| , em que se identificam as funções iguais q.t.p. em I (i.e. os elementos do espaço são as classes de funções iguais q.t.p. em I ). R(I) é um espaço linear normado que não é completo, e.g. considerando I=[0,1] , d:[0,1]→ℝ a função de Dirichlet, {q_k} uma enumeração de ℚ∩[0,1] , e a sucessão de funções {d_j} que são iguais a 1 nos 1ºs j termos de {q_k}  e 0 nos outros, é tal que ||d_j-d_k||₁=∫_I |d_j-d_k|=0 , pelo que é trivialmente uma sucessão de Cauchy em R(I) que tem como limite a função de Dirichlet d∉R(I) (como existem sucessões em ℚ que convergem para 2^1/2∉ℚ ). 
Exactamente pelo mesmo processo que se pode definir ℝ completando ℚ com a norma do valor absoluto (logo, sem ser axiomaticamente), também se pode definir L(I) completando R(I) com a norma || ||₁ . Pode ser assim definido o conjunto L(I) das funções integráveis à Lebesgue em I e o integral de Lebesgue de f∈L(I) por ∫_I f=lim ∫_I f_k em que {f_k}⊂R(I) e f_k→f na norma || ||₁ . 

Imediatamente a função de Dirichlet d é integrável e tem integral 0 (à Lebesgue), resolvendo um defeito do integral de Riemann que não existia para esta função apesar do seu conjunto de ordenadas ter medida nula e, portanto, dever ter área 0 .

Observação: Esta definição do integral (de lebesgue) é rigorosa em intervalos limitados, mas tal como no caso de ℝ se preferiu uma definição mais concreta juntando às propriedades das operações e da ordenação de ℚ o axioma do supremo para facilitar cálculo, também neste caso vamos considerar uma definição mais concreta a partir de funções em escada, com a vantagem de podermos considerar à partida intervalos ilimitados.

Chama-se função em escada em intervalo ilimitado de ℝⁿ a função que é 0 fora de um intervalo limitado que tem restrição a esse intervalo que é uma função em escada). Chama-se função limite superior num intervalo de I⊂ℝⁿ a função f:I→ℝ tal que ∃ sucessão {s_k} de funções em escada em I crescente e convergente para f q.t.q. em I , s_k↗f q.t.p. em I com {∫_I s_k} majorada e define-se o integral de função limite superior por ∫_I f=lim_k→∞ ∫_I s_k (prova-se que é independente de {s_k} com as propriedades indicadas). Designa-se o conjunto das funções limite superior em I por U(I). Se f,g∈U(I) e c≥0 , é f+g,cf∈U(I) e  ∫_I(f+g)=∫_If+∫_Ig ,  ∫_I(cf)=c∫_If (em consequência da linearidade do limite). Como se pretende que L(I) seja espaço linear, considera-se o espaço linear gerado por U(I), ou seja L(I)={f=u-v: u,v∈U(I)}, que é o espaço das funções integráveis à Lebesgue e define-se o integral de Lebesgue de f∈L(I) com f=u-v por  ∫_If=∫_Iu-∫_Iv , com u,v∈U(I) (é independente da decomposição f=u-v com u,v∈U(I) porque o integral em U(I) é aditivo).

Observações: 
(1) É preciso verificar que é independente da sucessão {s_k} com as propriedades indicadas, o que resulta da monotonia do limite (ver no livro). 
(2) A 2ª definição é mais concreta e baseia-se exactamente no mesmo em que se baseou a definição do integral de Riemann: aproximações por funções em escada (mas simplificando considerando apenas funções em escada por baixo da função e definindo o integral pelo limite dos integrais, com a consideração da convergência para a função ser q.t.p.; logo, é argumentável que não é mais difícil do que a definição de integral de Riemann). Além disso, define integral mesmo em intervalos ilimitados e mesmo de fuções ilimitadas (que podem ser ou não integráveis no novo sentido). 

Exemplos:
(1) A função de Dirichlet d:[0,1]→ℝ satisfaz s_k↗d com s_k zero excepto nos 1ºs k racionais de uma enumeração de ℚ∩[0,1]={q_j} que é 1, pelo que d∈U([0,1]) e ∫_I d = lim_k→∞ ∫_Is_k= 0 .
(2) Com t_k=0 em todo [0,1] , t_k↗-d q.t.p. em [0,1] , pelo que -d∈U([0,1]) e ∫_I-d = lim_k→∞ ∫_It_k= 0 .
(3) A função D:[0,1]→ℝ que é 1 em ∪_j∈ ℕI_j com I_j=[q_j-1/4^j, q_j+1/4^j] e 0 nos outros pontos satisfaz s_k↗D em [0,1] com s_k 1 em ∪^k_j=1I_j  e 0 nos outros pontos, pelo que D∈U([0,1]) e ∫_ID = lim_k→∞∫_Is_k ≤ ∑_j∈ ℕv(I_j) = ∑_j∈ ℕ2/4^j = 2/3 .
(4) Se {s_k}⊂S([0,1]) e s_k≤-D q.t.p. em [0,1] , é s_k≤-1 q.t.p. em [0,1] ; como -D=0 num conjunto que não tem medida nula, não existe {s_k}⊂S(I) : s_k↗-D q.t.p. em [0,1] ; logo, -D∉U([0,1]) . Portanto, U([0,1]) não é espaço linear.

Proposição: Se  I⊂ℝⁿ é um intervalo, então f↦∫_If é uma transformação linear de L(I) em ℝ . 

(Dem.: aplicar aditividade e homogeneidade positiva do integral de funções em U(I) passando somas de diferenças a diferenças de somas e trocando diferenças por diferenças dos simétricos).

Proposição: Se  I⊂ℝⁿ é um intervalo limitado, f∈R(I) ⇒ f∈U(I) e ∫_If (à Riemann) = ∫_If (como função de U(I) ). 

(Dem.: As funções integráveis à Riemann são arbitrariamente aproximadas por funções em escada por baixo e por cima e o integral à Riemann coincide com o limite dos integrais dessas funções).

Observação: Com este conceito de integral resolveu-se o defeito do integral à Riemann não dar o volume de certos conjuntos de medida nula, pois este integral dá volume 0 para estes conjuntos, não se perdeu nada porque todas as funções integráveis à Riemann são integráveis (à Lebesgue) e ambos integrais são iguais, alargou-se o espaço das funções integráveis, inclusivamente abrangendo certas funções ilimitadas e/ou em conjuntos ilimitados (pois a definição não exige estas propriedades).

31ª Aula - Revisão: Conjunto de pontos de continuidade de função F:D→ℝm, D⊂ℝn é intersecção numerável de abertos relativamente a D; 3 ideias distintas de "tamanho" de um subconjunto de ℝn: cardinalidade, medida/conteúdo nula/o, categoria de Baire (todas distinguem racionais de irracionais); 4 provas com argumentos distintos da inumerabilidade de ℝ: Argumento Diagonal de Cantor, subdivisão suessiva de intervalos para menos de metade, medida nula; categoria de Baire.   Todo aberto de ℝn é união numerável de compactos. Imagens de conjuntos de medida nula ou conteúdo nulo  por funções C1 têm, resp., medida nula ou conteúdo nulo. Exemplos concretos de aplicação deste resultado para provar que um conjunto tem conteúdo nulo ou medida nula. Definição de integral (de Lebesgue) completando o espaço normado das funções integráveis à Riemann num intervalo limitado com a norma dada pelo integral do valor absoluto de cada função

22 abril 2019, 11:30 • Luis Magalhães

Revisão: Conjunto de pontos de continuidade de função F:D→ℝ^m, D⊂ℝⁿ é intersecção numerável de abertos relativamente a D.

Há funções contínuas nos irracionais e descontínuas nos racionais, mas não ao contrário.

3 ideias distintas para comparar "tamanho" de subconjunto de ℝⁿ (todas distinguem racionais de irracionais, embora sejam indistinguíveis por densidade em ℝ):

(1) Cardinalidade (ℚ é numerável ℝ\ℚ não)

(2) Medida/conteúdo nula/o (ℚ sim, ℝ\ℚ não)

(3) Categoria de Baire (ℚ magro (1ª categoria), ℝ\ℚ gordo (2ª categoria)).

Temos 4 provas com argumentos completamente distintos para provar que ℝ não é numerável: (1) Argumento Diagonal de Cantor. (2) Subdivisão sucessiva de intervalos para menos de metade (a prova mais elementar), (3) Medida nula. (4) Categoria de Baire.

Observação: Assim como continuidadeem certos casos ajudou a simplificar radicalmente questões de limite, topologia, derivada e integral também em certos caso ajuda a simplificar questões de medida/conteúdo nula/o (neste caso continuidade das derivadas parciais).

Proposições:

(1) Todo T⊂ℝⁿ é uma união numerável de subconjuntos compactos de T.
(Dem.: Se T é aberto considera-se a união dos compactos que consistem nos pontos a distância j de 0 e 1/j de ∂T. ∂T é um conjunto fechado que é a união numerável dos compactos que são os seus subconjunto a distância i de 0).

(2) Se g:T→ℝⁿ é C¹ e T⊂ℝⁿ é aberto, então:
     (a) B⊂T tem medida nula ⇒ g(B) tem medida nula. (Dem. 1º para B compacto, com T. de Weierstrass para majorar derivadas parciais, T. de Lagrange e Desigualdade de Cauchy-Schwarz para controlar a expansão máxima de volumes de intervalos, e depois aplicar (1)).
     (b) B tem conteúdo nulo e fecho de B está contido em T ⇒ g(B) tem conteúdo nulo.  .
(Dem  Para ε>0 arbitrário, existe cobertura fiinita de B por intervalos fechados com soma de volumes <ε . Também cobre o fecho de B. Logo, este é limitado, e como é fechado, é compacto. Imagem de compactos por função contínua são compactos. Logo a imagem do fecho de B é conjunto compacto; como em compactos medida e conteúdo nulo são equivalentes, tem conteúdo nulo. Logo, g(B) também).

Exemplos: Casos concretos de determinação que um conjunto tem conteúdo ou medida nula por ser imagem por uma função C¹ de um conjunto de conteúdo ou medida nula.

Integral (de Lebesgue): 

Como o integral de Riemann tem sérios defeitos (e.g. um conjunto de medida nula pode ter função característica não integrável à Riemann quando o integral deveria existir e ser 0 ) e desde há 115 anos tem interesse meramente didático (excepto em situações específicas restritas), é preciso considerar um integral sem esses defeitos. 

1ª definição:Designa-se o conjunto das funções integráveis à Riemann num intervalo limitado I⊂ℝⁿ por R(I) e as funções integráveis à Lebesgue em I por L(I). A razão para estender R(I) a L(I) é a mesma para estender ℚ a ℝ : para que sucessões de Cauchy sejam convergentes ou seja para que o espaço seja completo. Considera-se o espaço linear R(I) com a norma ||f||₁=∫_I |f| , em que se identificam as funções iguais q.t.p. em I (i.e. os elementos do espaço são as classes de funções iguais q.t.p. em I ). R(I) é um espaço linear normado que não é completo, e.g. considerando I=[0,1] , d:[0,1]→ℝ a função de Dirichlet, {q_k} uma enumeração de ℚ∩[0,1] , e a sucessão de funções {d_j} que são iguais a 1 nos 1ºs j termos de {q_k}  e 0 nos outros, é tal que ||d_j-d_k||₁=∫_I |d_j-d_k|=0 , pelo que é trivialmente uma sucessão de Cauchy em R(I) que tem como limite a função de Dirichlet d∉R(I) (como existem sucessões em ℚ que convergem para 2^1/2∉ℚ ). 

Exactamente pelo mesmo processo que se pode definir ℝ completando ℚ com a norma do valor absoluto (logo, sem ser axiomaticamente), também se pode definir L(I) completando R(I) com a norma || ||₁ . 

Pode ser assim definido o conjunto L(I) das funções integráveis à Lebesgue em I e o integral de Lebesgue de f∈L(I) por ∫_I f=lim ∫_I f_k em que {f_k}⊂R(I) e f_k→f na norma || ||₁. 

Observação: Amanhã dá-se uma definição mais concreta, com base em funções em escada.

Exercícios da ficha 7

22 abril 2019, 10:00 • Manuel Paulo de Oliveira Ricou

.Exercícios da ficha 7.

30ª Aula - Revisão: Exemplo da função de Riemann (é integrável à Riemann e contínua em irracionais e descontínua em racionai). Conjuntos de continuidade de funções de ℝn em ℝm são intersecções numeráveis de abertos relat. ao domínio. Definição de conjunto denso noutro,  Intersecções numeráveis de subconjuntos densos em ℝn são densos em ℝn (T. de Categoria de Baire). ℚ não é intersecção numerável de abertos em ℝ e ℝ\ℚ é. Não há funções definidas em ℝ com conjunto de pontos de continuidade ℚ. Os racionais e os irracionais são ambos densos em ℝ, mas são muito diferentes (cardinalidade, medida nula, conj. de pontos de continuidade de funções, intersecções numeráveis de abertos). Conjuntos magros e conjuntos gordos.

12 abril 2019, 11:30 • Luis Magalhães

Revisão: Exemplo da função de Riemann. Prova geométrica que é descontínua em todos racionais e integrável à Riemann, logo contínua q.t.p.

Prova que a função de Riemann é descontínua em todos os irracionais.

Observação: Há funções contínuas nos irracionais e descontínuas nos racionais, mas não há funções contínuas nos racionais e descontínuas nos irracionais (a seguir). É mais uma distinção entre os racionais e os irracionais, além das duas já conhecidas: cardinalidade e medida nula.

Proposição: O conjunto dos pontos de continuidade C_f de f:S→ℝ^m, com S⊂ℝⁿ, é intersecção numerável de conjuntos abertos. (Dem.: C_f={x∈S: o(f,x)=0}=∩_j∈ℕ{x∈S: o(f,x)<1/j }).

Definição: S⊂ℝⁿ é denso num conjunto U⊂ℝⁿ se intersecta (intersecção ≠∅) todas as bolas de ℝⁿ que intersectam U).

Exemplos: ℚ e ℝ\ℚ são densos em ℝ; ℤ não é denso em ℝ. ℚ∩[0,1] e (ℝ\ℚ)∩[0,1] são densos em [0,1] ; S={1/n: n∈ℕ} não é denso em [0,1] e é denso em {0} (e em qualquer outro subconjunto de SU{0}).

Teorema de Categoria de Baire: Intersecções numeráveis de subconjuntos densos em ℝⁿ são densos em ℝⁿ.
(Dem.: Se {U_j} é conjunto numerável de abertos densos em ℝⁿ, B uma bola aberta em ℝⁿ e b₀∈B , ∃ intervalo fechado I₀ com b₀∈I₀⊂B ; como U₁ é denso em ℝⁿ, int I₀∩U₁≠∅ e este conjunto é aberto. Por subdivisão sucessiva de intervalos obtém-se sucessão {I_j} de intervalos fechados com os comprimentos das arestas de I_j+1<1/2 os das arestas de I_j e sucessão de pontos {b_j} com b_j∈I_j⊂B . Logo, ∩_j∈ℕI_j={b} para algum b∈B e b∈∩_j∈ℕU_j∩B . Portanto, ∩_j∈ℕU_j intersecta todos as bolas abertas de ℝⁿ).

Observação: O T. de Categoria de Baire é válido em espaços métricos completos.

Proposição: ℚ não é intersecção numerável de abertos em ℝ e ℝ\ℚ é. 
(Dem. Para ℚ: por absurdo; se fosse, com uma enumeração dos racionais, retirando a cada conjunto aberto da intersecção o racional correspondente obtém-se um conjunto vazio que é união numerável de abertos densos, logo, pelo T. de Baire, denso em contradição com ser vazio. Para ℝ\ℚ: é intersecção numerável dos complementares de cada racional, que são abertos).

Observações: 
(1) Os pontos de continuidade de uma função de ℝ em ℝ podem ser todos os irracionais, mas não todos os racionais.
(2) Pode-se provar que qualquer intersecção numerável de subconjuntos abertos de ℝⁿ pode ser o conjunto de pontos de continuidade de alguma função de ℝⁿ em ℝ^m. Portanto, os possíveis conjuntos de pontos de continuidade de funções de ℝⁿ em ℝ^m são precisamente os que são intersecção numerável de subconjuntos abertos de ℝⁿ.

Observação: ℚ e  ℝ\ℚ são ambos densos em qq intervalo de ℝ , mas muito diferentes:
(1) Numerável: ℚ SIM, ℝ\ℚ NÃO ; 
(2) Medida nula: ℚ SIM , ℝ\ℚ NÃO ; 
(3) Conjunto de pontos de continuidade de funções definidas em ℝ :ℚ NÃO , ℝ\ℚ SIM ;
(4) Intersecções numeráveis de abertos: ℚ NÃO , ℝ\ℚ SIM .

Definição: Chama-se conjunto magro (ou de 1ª categoria de Baire) a uma união numerável de conjuntoscujos fechos têm interior vazio; caso contrário, diz-se que o conjunto é gordo (ou de 2ª categoria de Baire). 

Proposição:
(1) Subconjuntos numeráveis de ℝ ⁿ são magros; (2) Subconjuntos de conjuntos magos são magros; (3) Uniões numeráveis de conjuntos magros são magros; (4) Intervalos de ℝ ⁿ são gordos,
(Dem. Consequências imediatas da definição, excepto (4) . Prova de (4) por absurdo: se um intervalo I fosse magro, o seu complementar seria intersecção numerável de conjuntos que contêm abertos densos em ℝ ⁿ que, do T. de Categoria de Baire , seria denso em ℝ ⁿ, o que é falso porque o seu complementar contém o intervalo I ).

Observação: O T. de Categoria de Baire implica que  ℝ ⁿ (ou qualquer espaço métrico completo) é gordo em si próprio.

Exemplo: ℚ é magro (porque é numerável). ℝ\ℚ é gordo (porque se fosse magro, ℝ seria magor e tal é falso).

29ª Aula - Revisão: Critério de Lebesgue de  integrabilidade à Riemann e prova da condição necessária de integrabilidade. Prova da condição suficiente de integrabilidade dess critério. Conjuntos mensuráveis à Jordan e integrabilidade nesses conjuntos. Conjuntos de medida nula que não têm volume no sentido de Riemann (defeito do integral de Riemann). Existência de funções integráveis à Riemann em conjuntos não mensuráveis à Jordan. Exemplo de função de ℝ em ℝ com conjunto de pontos de continuidade ℝ\ℚ.

11 abril 2019, 13:00 • Luis Magalhães

Revisão: Critério de Lebesgue para Integrabilidade à Riemann: f:I→ℝ limitada, com I⊂ℝⁿ intervalo compacto é integrável à Riemann em I se e só se f é contínua q.t.p. em I . 
(Dem.: (⇒) o critério de integrabilidade à Riemann em termos de oscilações dá que D_ε={x∈I: o(f,x)≥ε} tem conteúdo nulo; logo, o conjuto de pontos de descontinuidade D=∩_k∈ℕD_1/k tem medida nula.

(⇐) ∀_δ>0 cobre-se D com medida nula por intervalos abertos {I_k} com ∑_kv(I_k)<δ e  ∀_ε>0 cobre-se I\D por intervalos abertos {J_j} tais que o(f,J_j)<ε . {I_k}U{J_j} é cobertura aberta de I e como este é compacto existe subcorbertura aberta. Considera-se em cada aresta de I a partição união doas extremidades dos intervalos da subcobertura finita. A partição de I correspondente satisfaz o critério de integrabilidade à Riemann de f em I em termos de oscilações).

Observação: Uma função real de variável real monótona (em sentido lato) num intervalo compacto é contínua q.t.p. (Dem: Mostra-se que a função é integrável à Riemann e aplica-se o critério de integrabilidade). Contudo, pode-se provar directamente que o conjunto de pontos de descontínuidade é numerável (o complementar do contradomínio no intervalo com extremidades f(a), f(b) é uma união de intervalos; em cada um deles há um nº racional, esses nºs são diferentes devido à monotonia da função; logo, a cardinalidade desses intervalos é ≤#ℚ=#ℕ).

Definição: Diz-se que S⊂ℝⁿ mensurável à Jordan se é limitado e ∂S tem conteúdo nulo.

Proposição: Se S⊂ℝⁿ mensurável à Jordan, o volume (n-dimensional) de S no sentido de Riemann existe e v(S)=∫_S1 , com integral de Riemann.

Proposição: Uma função f com valores reais limitada em S⊂ℝⁿmensurável à Jordan é integrável em S se e só se f é contínua q.t.p. em S. 

(Dem.: o conjunto de pontos de descontinuidade da extensão de f para fora de S com o valor 0 está incluído na união do conjunto de pontos de descontinuidade de f com ∂S ).

Exemplos:
(1) O conjunto de ordenadas O(d) da função de Dirichlet d:[0,1]→ℝ não é mensurável à Jordan porque ∂O(d)=[0,1]² não tem conteúdo nulo e tem medida nula porque é união numerável de conjuntos (segmentos de recta) com medida (área) nula. Logo O(d) não tem volume-2 (área) no sentido de Riemann, embora tenha medida (área) nula (defeito do integral de Riemann).
(2) O conjunto S=O(d)∪([0,1]x[-1,0]) tem fronteira ∂S=[0,1]²∪({0,1}x[-1,0])∪([0,1]x{-1}), que não tem conteúdo nulo porque contém [0,1]² que não tem conteúdo nulo, logo S não é mensurável à Jordan e o integral de Riemann  ∫_S1 não existe. Logo, S não tem volume-2 (área) no sentido de Riemann apesar de S só diferir do quadrado [1,0]x[-1,0] por um conjunto de medida (área) nula (defeito do integral de Riemann). Se f:S→ℝ é limitada e contínua em [0,1]x[-1,0] e 0 em O(d)\([0,1]x{0}) o conjunto de pontos de descontinuidade da extensão de f a [0,1] x [-1,1] igual a 0 fora de S está incluído em ([0,1]x{-1,0})∪({0,1}x[-1,0]) que é a união de 4 segementos de recta e tem conteúdo nulo, pelo que ∫_Sf existe, apesar de S não ser mensurável à Jordan, ∂S é a união disjunta de um conjunto de conteúdo nulo com um conjunto que não tem conteúdo nulo, mas a extensão de f para fora de S é contínua neste conjunto porque é 0 nele.
(3) A função de Riemann, R:[0,1]→ℝ tal que R(x)=1/q se x=p/q em termos mínimos, com p,q∈ℕ, é integrável à Riemann e ∫_[0,1]R=0 . É contínua nos irracionais e descontínua nos racionais.

Observações: 
(1) Há conjuntos de medida nula que não têm volume no sentido de Riemann (defeito do integral de Riemann), (exemplo (1).
(2) Há funções integráveis à Riemann em conjuntos não mensuráveis à Jordan (exemplo 2).
(4) Há funções contínuas nos irracionais e descontínuas nos racionais (exemplo 3)..