Sumários

Exercícios das fichas 9 (integrabilidade) e 8 (C)

7 maio 2019, 15:30 Manuel Paulo de Oliveira Ricou

F8 (C): 9.2, 9.6 (incompleto)

F9: 7.1


40ª Aula - Revisão: Tranformação de coordenadas e mudança de variáveis de integraçõ. Exemplos de aplicações do TMVI, incluindo obtenção do coeficiente escalar a usar na densidade de probabilidade da distribuição normal, conjunto com volume finito mas com secção plana de "área" infinita; cálculo do volume-n de uma esfera n-dimensional em ℝn de raio R (cresce até n=5 e decresce, pouco para n=6, mas depois muito rapidamente). Referência a que mudanças de variáveis para coordenadas polares, cilíndricas ou esféricas não são transformações de coordenadas em todo o espaço, mas podem ser usadas em todo o espaço porque o que fica de fora tem medida nula.

7 maio 2019, 11:30 Luis Magalhães

Revisão: Definição: Transformação de coordenadas em T⊂ℝn é função g:T→ℝn, injectiva C1 com derivada injectiva.

Teorema de mudança de variáveis de integração em n (TMVI): Se T⊂ℝn é aberto, g é uma transformação de coordenadas em T , X⊂g(T) é mensurável e  (f∈L(X) ou (f∘g)|det Dg|∈L(g-1(X))), então  ∫Xf =∫g-1(X)(f∘g)|det Dg| .

Exemplo: f(x,y)=e-(x2+y2) em S=[0,+∞[2. Do T. Fubini, ∫Sf=[∫0+∞e-x2dx]2 e com TMVI para coordenadas polares ∫Sf = ∫0π/20+∞e-r2r dr = π/4 . Logo, ∫e-x2dx = 2 ∫0+∞e-x2 =π1/2. Obteve-se este integral de dimensão 1 mesmo sem conhecer a primitiva da função integranda em termos de funções elementares do cálculo. n(x)=Ke-x2 é a função densidade de probabilidade da distribuição normal de média μ=0 e variância σ2=1/2 para K tal que ∫n=1 ; obtém-se K=1/π1/2. Com mudança de variáveis x=(y-μ)/(21/2σ) obtém-se 1= [1/π1/2] ∫0+∞e-(y-μ)2/(2σ2) [1/(21/2σ)] dy = (1/ [σ(2π)1/2]) ∫0+∞e-(y-μ)2(2σ2)dy, em que a função N(μ,σ2)(y) = (1/ [σ(2π)1/2]) e-(y-μ)2/(2σ2) é a densidade de probabilidade da distribuição normal de média μ e variância σ2.

Exemplos:
(1) fa(x)=1/||x||a com a>0 definida em S=B1(0)⊂ℝ2 . TMVI com coordenadas polares dá para o volume do conjunto de ordenadas vol O(fa) = ∫Sf = ∫02π ∫01(1/ra) r dr dθ = 2π ∫011/ra-1dr = 2π/(2-a) para a<2 e não existe para a≥2 , enquanto para a área da secção plana que contém o eixo de simetria obtém-se 2 ∫011/ra dr = 1/(1-a) se a>1 e não existe ("área" infinita) se a≥1. Logo, para 1≤a<2 O(fa)  tem volume finito 2π/(2-a) enquanto a "área" da sua secção plana que passa no eixo de simetria é infinita! (analogamente, em ℝem vez de ℝ2 O(fa) tem volume finito se e só se a<n e aplicam-se observações análogas a secções por subespaços lineares de dimensão <n).
(2) Cálculo do volume (n dimensional) da esfera de raio R em ℝn com o TMVI: V(n)(R) =RnV(n)(1)  e (com T. Fubini e mudança para coordenadas polares)  V(n)(1) =(2π/n)V(n-2)(1) , pelo que o volume da esfera de raio 1 cresce de dimensão 1 a 5 e decresce para dimensões superiores, tendendo para 0 rapidamente.

Observação: As mudanças de variáveis correspondentes a coordenadas polares, cilíndricas ou esféricas não são transformações de coordenadas em todo o espaço, mas sim no complementar de um conjunto de medida nula e como funções C1 transformam conjuntos de medida nula em conjuntos de medida nula as correspondentes imagens também têm medida nula, pelo que estas mudanças de variáveis podem ser usadas em integração sem problemas apesar de não serem transformações de coordenadas em todo o espaço, mas pode-se ir um pouco mais longe.


39ª Aula - Revisão: T. de Fubini e motivação de T. de Tonelli. Prova do T. de Tonelli. T. de Mudança de Variáveis de Integração (TMVI) para integrais múltiplos (enunciado e prova).  Observação: hipótese de integrabilidade no TMVI na função na nova variável em vez de na variável original. Exemplo de aplicação das regras de derivação da função composta e de Leibniz para derivar uma função definida por um integral paramétrico com extremo de integração dependente do parâmetro. Exercício para casa sobre convolução.

6 maio 2019, 11:30 Luis Magalhães

Revisão:Teorema de Fubini: Se A⊂ℝm, B⊂ℝp são intervalos e f∈L(AxB) , então ∫AxBf = ∫Afd= ∫Bfdy , em que  todos estes integrais existem (o 2º em cada termo q.t.p. no intervalo de integração do 1º), com fx(y)=f(x,y), fy(x)=f(x,y). Teorema de Tonelli: Se A⊂ℝm, B⊂ℝp são intervalos, f∈M(AxB) , e pelo menos um dos integrais iterados ∫AB|fx|d= ∫BA|fy|dexiste, então f∈L(AxB) . (Dem. aproximação por sucessão de funções fk=min(sk,!f!) em que sk é k no intervalo [-k,k]m+p e 0 fora deste intervalo, e TCM).

(Dem.: Como usualmente S(I)→U(I)→L(I) , em que a 1ª e a última são imediatas. A do meio é fácil com o TCM e utilizando a proposição seguinte). Com a propriedade: Se S⊂ℝmxℝp tem medida nula, então as secções Sx={y∈ℝp: (x,y)∈S} e Sy={x∈ℝm: (x,y)∈S} têm medida nula q.t.p, resp., para x∈A  e y∈B (Apesar de parecer natural, este resultado tem de ser provado. Uma prova relativamente simples usa o TCM).

Definição: Transformação de coordenadas em T⊂ℝn é função g:T→ℝn, injectiva C1 com derivada injectiva.

Teorema de mudança de variáveis de integração em (TMVI): Se T⊂ℝn é aberto, g é uma transformação de coordenadas em T , X⊂g(T) é mensurável e f∈L(X) , então  ∫Xf = ∫g-1(X) (f∘g) | det D| . 
(Dem.: em passos sucessivos:
(1) Se válido para f=1 e X intervalo limitado , então válido para  f∈L(X)  (S(X)→U(X)→L(X) com TCD) ;
(2) Válido para f=1, X intervalo limitado e g transformação linear injectiva (volume de paralelepípedo g(X) é |det Dg| em que Dg é a representação matricial de g na base canónica);
(3) Se válido para transformações de coordenadas k e h , então válido para hk (regra de derivação da função composta);
(4) Se é válida versão local em ℝn, então é válida versão global em ℝn para o mesmo  n∈ℕ, em que versão local é ∀xX∃ intervalo Uxg(T) tal que é válido com X=Ux ((a) se X é compacto, passar de cobertura aberta por intervalos Ux para subcobertura finita, considerar partição finita definida pelas extremidades das arestas dos intervalos e aplicar aditividade em relação ao domínio de integração; (b) se X não é compacto, como é aberto é união numerável de subconjuntos compactos, aplicar (a) e aditividade-σ);
(5) É válida a versão geral em ℝpara n∈ℕ (indução em n e decomposição g=hk com h que mantém última componente e muda as outras e k que mantém todas as componentes menos a última e aplicar (3) e T. Fubini).

Observação: Quando se aplica o TMVI calcula-se o integral na nova variável (lado direito da igualdade) mas a hipótese do teorema é a integrabilidade na variável original. Dá jeito verificar a integrabilidade na nova variável porque se vai calcular esse integral, ou seja que h=(f∘g) |det Dg|∈L(g-1(X)) , que pode ser substituída como hipótese do TMVI porque aplicando a este integral a transformação de coordenadas g-1 o TMVI dá ∫g-1(X)h = ∫g(g-1(X))(h∘g-1) |det Dg-1|=∫X (f∘gg-1) |(det Dg)∘g-1| |det Dg-1|= ∫Xf .

Exemplo: Regra de derivação de F(y) = ∫ag(y) f(x,y) dx , com x, y, g(y), f(x,y) reais. Com G(z,y) = ∫af(x,y) dx é F(y)=G(g(y),y) . Da regra da cadeia: F´(y) = f(g(y),y) g'(y) + ∫ag(y) (∂f/∂y)(x,y) dx desde que x↦f(x,y) seja contínua e ∂f/∂y, ∫ag(y) (∂f/∂y)(x,y) dx  existam.  

Exercício para trabalho de casa de aplicação de mensurabilidade, T. de Tonelli e T. de Fubini: 

Se f,g∈L(ℝ) define-se convolução de f com g por f✶g(y)=∫f(y-x) g(x) dx . Prove que:
(a) f✶g tem domínio ℝ .
(b) f✶g∈L(ℝ) .
(c)  f✶g=g✶f , f✶(g✶h)=(f✶g)✶h ,  f✶(g+h)=(f✶g)+(f✶h)


Exercícios da ficha 9 (integrabilidade)

6 maio 2019, 10:00 Manuel Paulo de Oliveira Ricou

7.1 b), d), e), f)


Ficha 8 (C): 9.2, 9.4


Exercícios da ficha 9 (integrabilidade)

3 maio 2019, 14:30 Manuel Paulo de Oliveira Ricou

6.1 a), c), d), e)

7.1 a), c)
9.3