Exercícios da ficha 9 (variedades, espaço tangente, espaço normal)

21 maio 2019, 15:30 • Manuel Paulo de Oliveira Ricou

Exercício (1), outras questões sobre variedades.

48ª Aula - Revisão: Fluxo de campo vectorial através de subconjunto C de vizinhança de coordenadas de variedade-(n-1) M em ℝn e caso particular com n=3. Vector e espaço tangente a variedade-m num ponto. Determinação de espaços tangentes em cada uma das três descrições locais de variedades-m por parametrizações, gráficos de funções ou equações cartesianas. Vector e espaço normal a variedade-m em ℝn num ponto, e determinação de espaços normais em cada uma das três descrições locais de variedades-m. Método dos multiplicadores de Lagrange para condição necessária de extremos de campos escalares diferenciáveis condicionados à variável pertencer a uma variedade-m .

21 maio 2019, 11:30 • Luis Magalhães

Revisão: Fluxo de campo vectorial através de subconjunto C de vizinhança de coordenadas de variedade-(n-1) M em ℝⁿ e caso particular com n=3: normal unitária pode ser obtida de parametrização g , pois os vectores D₁g,D₂g  são tangentes a M e D₁gxD₂g é ortogonal a estes vectores, pelo que n=±D₁gxD₂g/||D₁gxD₂g||=(∂g/∂x)x(∂g/∂y)/||(∂g/∂x)x(∂g/∂y)||, com sinal + ou - conforme o sentido e da normal relativamente à variedade, e ∫_Cf·n= ∫_g-1(C)f(g(x,y)) · (∂g/∂x)x(∂g/∂y) dxdy . 

Definição: Chama-se vector tangente a uma variedade-m M em ℝⁿ num ponto a∈M a v∈ℝⁿ tal que v=g´(0) para algum caminho g: ]-δ,δ [ → M com g(0)=a . Chama-se espaço tangente de M em a , designado T_aM , ao conjunto de todos os vectores tangentes a M em a .

Proposição: As caracterizações locais de variedades-m M em ℝⁿ por (1) parametrizações, (2) gráficos de funções, (3) equações cartesianas,  dão caracterizações correspondentes de T_aM , que é um subespaço linear de ℝⁿ com dimensão m :
(1) T_aM = R(g´(t₀)) = ℒ(D₁g(t₀), ... , D_mg(t₀)) , em que g é uma parametrização de uma vizinhança de coordenadas de M que contém a .
(2) T_aM = gráfico de f´(a_i1, ..., a_im) , em que localmente numa vizinhança de a M é gráfico de f:V→ℝ^n-m C¹ , (x_im+1, ..., x_in) = f(x_i1, ..., x_im) , em que Vℝⁿ é aberto e e (i₁, ..., i_m) é uma permutação de (1, ..., n) .
(3)  T_aM =N(DF(a)) , em que F(x)=0 , x∈ℝⁿ, é uma equação cartesiana local de M com F C¹ e definida em a .

Método dos multiplicadores de Lagrange: Se f é um campo escalar diferenciável em S⊂M , com M uma variedade-m em ℝⁿ com m<n , para que f|M tenha extremo relativo em a∈M , se F(x)=0 é equação cartesiana local de M e F está definida em a , é necessário que existam λ₁...λ_n-m∈ℝ tais que ∇f = λ₁∇F₁+ ⋯ + λ_n-m∇F_n-m . Aos números λ₁, ..., λ_n-m chama-se multiplicadores de Lagrange e F=(F₁, ..., F_n-m) .

Observações: 
(1) A condição anterior equivale a ∇f∈(T_aM)^⊥, ou seja a ∇f  ser ortogonal à variedade-m M em a , e, como ∇f é ortogonal aos seus conjuntos de nível, a condição equivale ao conjunto de nível de f que contém a ser tangente à variedade-m M . 

(3) O método dos multiplicadores de Lagrange é consequência imediata de em pontos de extremo variedades de nível de f terem de ser tangentes a M, logo ter de ser ∇f(a)∈(T_aM)^⊥ que tem base (∇F₁(a), ... ,∇F_n-m(a))
(4) Extremos de funções com a variável condicionada a pertencer a uma variedade-m em ℝⁿ chamam-se extremos condicionados ou com restrições (a pontos da variedade) com equação cartesiana local F(x)=0 com F=(F₁, ..., F_n-m) . 
(5) A condição necessária para ponto de extremo (livre) de campo escalar f diferenciável que é ser ponto de estacionaridade (∇f=0) , para extremos condicionados é transformada em ser ponto de estacionaridade da função g=f - (λ₁F₁+ ⋯ +∇F_n-m) para alguns λ₁, ..., λ_n-m∈ℝ , que são os multiplicadores de Lagrange. . ∇g(a)=0 equivale a ∇f(a)+[DF(a)]^tλ=0.  São n equações escalares que com as n-m equações escalares F(x)=0 formam um sistema de 2n-m equações com igual nº de incógnitas, mas em geral é não linear. Contudo, para cada x que seja solução para algum λ , este é único, pois rank[DF(a)]^t=n-m, ou seja para cada candidato a extremo os multiplicadores de Lagrange são únicos.
(6) Comparação de condição necessária para extremos livres e extremos condicionados: Se f:S→ℝ é C¹ em S⊂ℝⁿ aberto e M⊂S é variedade-m, então:
(i) f tem extremo em a∈S ⇒ ∇f(a)=0 ;
(ii) f_|M tem extremo em a∈M e F(x)=0 é equação cartesiana local para M numa vizinhança de a ⇒ ∃_λ∈ℝ^n-m : ∇g(a)=0 , com g=f+λ·F .
(7)  Assim como para extremos (livres) de campos escalares diferenciáveis se começa por determinar os pontos de estacionaridade e, depois, identifica-se se são de máximo, mínimo ou sela, para extremos condicionados começa-se por determinar os pontos que satisfazem a condição de multiplicadores de Lagrange e depois identifica-se se são de máximo, mínimo ou sela. Também se obtêm condições suficientes para máximo, mínimo ou ponto de sela com a matriz hessiana de g ser, resp., definida negtiva, definida positiva ou indefinida.

47ª Aula - Revisão e notações: Integral de campo escalar em subconjunto de vizinhança de coordenadas de uma variedade-m. Subconjunto mensurável de vizinhança de coordenadas de variedade-m em ℝn e correspondente volume-m. Referência a aplicações destes integrais, incluindo fluxo de campo vectoria através de subconjunto de vizinhança de coordenadas de variedade-(n-1) em ℝn no sentido de uma normal unitária contínua. Fórmula para volume-m de gráfico de campo escalar definido em subconjunto aberto de ℝm. Descrições locais equivalentes de variedades-m em ℝn por parametrizações (ou sistemas de coordenadas), gráficos de funções, equações cartesianas. Mudança de sistema de coordenadas ou de parametrizações ou de parâmetros. Invariância de integrais com mudança de parametrizações. Exemplos de cálculo de áreas de superfícies em ℝ3 com só uma parametrização a menos de conjunto de medida nula.

20 maio 2019, 11:30 • Luis Magalhães

Revisão: Integral de campo escalar em subconjunto de vizinhança de coordenadas de uma variedade-m.

Notações: Usam-se as notações,  ∫_C f ,  ∫_C f dV_m ,  ∫_S f(x) dV_m(x) ,  ∫_C f dV ,  ∫_C f(x) dV(x) . Em ℝ³ usa-se para m=1, como anteriormente com integrais de linha, ∫_C f ds ou ∫_C f (x,y,z) ds , e para m=2  ∫_C f dS , ∫_C f (x,y,z) dS , ∫_C f (x,y,z) dV₂ .

Aplicações de integrais em vizinhanças de coordenadas de variedades-m em ℝⁿ: Como nos casos particulares de variedades-1 (integrais de linha em curvas regulares simples homeomorfas a um intervalo aberto de ℝ) e de variedades-n (integrais múltiplos em subconjuntos abertos de ℝⁿ) são a grandezas para subconjuntos de variedades-m a partir das respectivas densidades e conceitos associados, a volumes-m de subconjuntos de variedades-m , e em ℝ³ como no caso particular de variedades-1 a trabalho de campo vectorial a fluxo de campo vectorial através de subconjunto de variedade-2 (uma superfície) definido por ∫_C f·n , em que n é o campo vectorial que em cada ponto de C dá uma normal unitária a C nesse ponto contínua (se f é um campo de velocidades, o fluxo dá a quantidade de matéria que passa através da superfície S por unidade de tempo).

Definição: Chama-se volume-m ou medida de subconjunto S de vizinhança de coordenadas de variedade-m M em ℝⁿ  parametrizada por g a   ∫_S1  se o integral existe e é finito, e diz-se então que S é mensurável. 

Proposição: O volume-m do gráfico de função C¹ f:S→ℝ, com S⊂ℝⁿ, é V_m(S) = ∫_S (1+||∇f||²)^1/2.

Revisão: 3 modos equivalentes de descrever variedades-m em ℝⁿ  (variedades mergulhadas (em inglês embedded) em ℝⁿ) C^k (com 1≤m≤n, k∈ℕ ou ∞) ∅≠M⊂ℝⁿ localmente (∀ a∈M ∃ U⊂ℝⁿ aberto com a∈U):

(1) Parametrizações (ou sistemas de coordenadas): M∩U=g(V) , com g:V→ℝⁿ homeomorfismo C^k em V⊂ℝ^m aberto com rank Dg=m.
(2) Gráficos de funções: M∩U=G(f) a menos de permutação de coordenadas, com f:v'→ℝ^n-m  C^k em v'⊂ℝ^m aberto .
(3) Equações cartesianas: M∩U=F^-1({0}) , com F:U→ℝ^n-m C^k em U com rank DF=n-m .

(Dem: (2) ⇒ (1) e (2) ⇒ (3) são imediatas após permutação de coordenadas de modo às 1ªs m coordenadas serem as livres. No sentido contrário são aplicações do TFImplícita).

Mudança de sistemas de coordenadas locais em variedades diferenciais: Se M∩U₁ e M∩U₂ são vizinhanças de coordenadas para uma variedade-m M⊂ℝⁿ C^k, com k∈ℕ ou ∞ , parametrizadas por g₁:V₁→M∩U₁ e g₂:V₂→M∩U₂ , U=U₁∩U₂ e M∩U≠∅ , então existe um difeomorfismo (i.e. uma bijecção diferenciável com inversa diferenciável) φ C^k do aberto g₂^-1(M∩U)⊂ℝ^m sobre o aberto g₁^-1(M∩U)⊂ℝ^m  tal que g₂=g₁∘φ . 
(Dem.: bijectividade das parametrizações para definir φ e TFImplícita para mostrar que é C^k, tal como feito para mostrar que caminhos regulares simplres qu representam a mesma curva são equivalentes). 

Definição: A uma função φ como no resultado precedente chama-se mudança de coordenadas locais da vizinhança de coordenadas M∩U da variedade diferencial M .

Proposição: O valor de integrais de campos escalares em subconjuntos de uma vizinhança de coordenadas de uma variedade-m é independente da parametrização.

Dem. Aplicação da mudança de coordenadas locais, da regra de derivação da função composta e do Teorema de Mudança de Variáveis de Integração para integrais múltiplos.)

Exemplo: Cálculo de área de uma superfície em caso concreto em que admitem uma parametrização a menos de conjunto de medida (área) nula.

Exercícios da ficha 9, 3º mini-teste

20 maio 2019, 10:00 • Manuel Paulo de Oliveira Ricou

Exercícios da ficha 9 (Variedades): alíneas de (1)

46ª Aula - Revisão: Definição de parametrização-m e de variedade-m em ℝn (mergulhada em ℝn). Três modos de descrever variedades-m localmente: parametrizações (ou sistemas de coordenadas), gráficos de funções, equações cartesianas. Definição de integral de campo escalar em subconjunto de vizinhança de coordenadas de variedade-m em ℝn. Referência a matriz de Gram das derivadas parciais de parametrização e utilização para cálculo de integrais em variedades-m. Casos particulares de cálculo de volumes-m de parelelepípedos-m em ℝn.

17 maio 2019, 11:30 • Luis Magalhães

Revisão: Definição de parametrização-m e de variedade-m em ℝ ⁿ (mergulhada em ℝ ⁿ):

Definição: Parametrização m-dimensional em ℝⁿ(1≤m≤n): função g:V→ℝⁿ, com V⊂ℝ^m aberto, C¹ que é um homeomorfismo (i.e. uma bijecção contínua com inversa contínua) com derivada injectiva. Diz-se que é uma parametrização C^k, com k∈ℕ ou ∞ , se g é C^k; diz-se que g parametriza g(V) . 

Definição: Chama-se variedade-m ou variedade diferencial de dimensão m em ℝⁿ (com 1≤m≤n) a um conjunto ∅≠M⊂ℝⁿ com parametrizações locais m-dimensionais, i.e.  ∀a∈M existe um conjunto aberto U⊂ℝⁿ com a∈U t al que M∩U=g(V) em que g:V→ℝⁿ é uma parametrização m-dimensional. Diz-se que g^-1:M∩U→V é um sistema de coordenadas para M∩U e M∩U é uma vizinhança de coordenadas de M .

Observações:
(1) A definição corresponde ao conceito de variedade diferencial mergulhada (em inglês embedded) em ℝⁿ, que são as únicas que consideramos nesta disciplina, embora haja outro conceito de variedade diferencial em ℝⁿ.
(2) g:V→ℝⁿ, com V⊂ℝ^m aberto (1≤m≤n), tem derivada injectiva se e só se rank Dg = m (i.e. Dg tem característica máxima). Neste caso existe plano-m tangente em cada ponto.
(2) g é homeomorfismo implica que uma curva em que tem pontos que são limites de pontos correspondentes a valores distantes do parâmetro não é uma variedade-1 porque embora a intersecção da curva com um subconjunto aberto de  ℝⁿ que contenha um tal ponto possa ser a imagem de um aberto V⊂ℝ por uma função g C¹ injectiva com derivada injectiva, g^-1 não é contínua, e, portanto, g não é um homeomorfismo. 
(3) ∅≠M⊂ℝⁿ é variedade-n se e só se M é um subconjunto aberto de ℝⁿ; a identidade em M é uma parametrização.

Definições:
(1) ∅≠M⊂ℝⁿ é localmente gráfico de função C^k, com k∈ℕ ou ∞ , de n-m coordenadas de ℝⁿ em função das outras m coordenadas se qualquer que seja a∈M existe um conjunto aberto U⊂ℝⁿ com a∈U, uma permutação (i₁,...,i_n) de (1,...,n) e uma função C^k f:V→ℝⁿ, com V⊂ℝ^m aberto, tal que M∩U = {(x₁,...,x_n)∈ℝⁿ: (x_im+1,...,x_in)= f(_i1,...,x_im) } .
(2) ∅≠M⊂ℝⁿ tem localmente equação cartesiana C^k, com k∈ℕ ou ∞ ,  para dimensão m em ℝⁿ se qualquer que seja a∈M existe um conjunto aberto U⊂ℝⁿ com a∈U e uma função C^k F:V→ℝ^n-m, com V⊂ℝⁿ aberto , com rank DF= n-m (i.e. DF tem característica máxima) tal que  M∩U = {x∈U: F(x)=0 } .

Observação: Pode-se provar que as três caracterizações locais de variedades diferenciais em ℝⁿ (por parametrizações, gráficos e equações cartesianas) são equivalentes. Para já ilustra-se a noção de variedade-m e de integrais em variedades com exemplos e usam-se as caracterizações referidas. Portanto, há 3 modos equivalentes de descrever variedades-m em ℝⁿ localmente: ∅≠M⊂ℝⁿ variedade-m em ℝⁿ C^k (k∈ℕ) se ∀ a∈M ∃ U⊂ℝⁿ aberto com a∈U tal que:
(a) parametrizações (ou sistemas de coordenadas): M∩U=g(V) , com g:V→ℝⁿ homeomorfismo C^k em V⊂ℝ^m aberto com rank Dg=m.
(b) gráficos de funções: M∩U=G(f) a menos de permutação de coordenadas, com f:v'→ℝ^n-m  C^k em V⊂ℝ^m aberto .
(c) equações cartesianas: M∩U=F^-1({0}) , com F:U→ℝ^n-m C^k em U com rank DF=n-m .

Observação: A definição de integral de um campo escalar numa vizinhança de coordenadas de uma variedade-m em ℝⁿ  é análoga à de intgeral de linha de campo escalar em caminho regular simples.

Definição: Chama-se integral de campo escalar f definido em subconjunto C de vizinhança de coordenadas de variedade-m M em ℝⁿ parametrizada por g a  ∫_C f = ∫_g-1(C) (f∘g) V_m(D₁g, ..., D_mg) se o integral existe e é finito, caso em que se diz que f é integrável em C , em que V_m(D₁g, ..., D_mg) designa o volume (m-dimensional) do paralelepípedo-m com arestas D₁g, ..., D_mg .

3) Se A é matriz mxn com linhas que são as componentes dos vectores D₁g(t), ..., D_mg(t) na base canónica de ℝⁿ e B é a matriz mxm com linhas que são as componentes dos mesmos vectores numa base ortonormal do subespaço linear de ℝⁿ gerado por esses vectores, sabe-se de Álgebra Linear que V_m(D₁g(t), ..., D_mg(t)) = | det B | . V_m(D₁g(t), ..., D_mg(t)) = (det [D_ig(t)·D_jg(t)]_i,j)^1/2, em que [D_ig(t)·D_jg(t)]_i,j  é a matriz de Gram dos vectores D₁g(t), ..., D_mg(t) . 

Casos particulares de V_m(D₁g(t), ... , D_mg(t)) :
(1) (para integrais de linha em ℝⁿ) :  V₁(g'(t))=||g'(t)|| .
(2) (para integrais de superfície em ℝⁿ) :  V₂(D₁g(t), D₂g(t)) = (det  [D_ig(t) · D_jg(t) ]_i,j=1,2 )^1/2= (EG-F²)^1/2, com E=||D₁g(t)||², F=D₁g(t) · D₂g(t) , G=||D₂g(t)||².
(3) (para integrais de superfície em ℝ³) : também V₂(D₁g(t), D₂g(t)) = || D₁g(t) x D₂g(t) || = || ∑_i=1,2,3 (-1)ⁱ⁺¹det A_i e_i || , em que A_i é a submatriz obtida suprimindo a coluna i à matriz A cujas colunas são as componentes na base canónica de cada um dos vectores D₁g(t), D₂g(t)∈ℝ³.
(4) (para integrais de hipersuperficies, i.e.variedades-(n-1), em ℝⁿ)  V_n-1(D₁g(t), ... , D_n-1g(t)) = || ∑_i=1,...,n (-1)ⁱ⁺¹det A_i e_i  || , A_i como em (c) com as colunas de A com as componentes na base canónica de cada um dos vectores D₁g(t), ... , D_n-1g(t) .
(5) (para integrais múltiplos em ℝⁿ):  V_n(D₁g(t), ... , D_ng(t)) = | det Dg | .