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26ª Aula - Revisão: Critérios de continuidade num ponto, de continuidade uniforme num intervalo limitado de integrabilidade à Riemann num intervalo limitado com oscilações, e suficiência de continuidade uniforme em intervalo limitado para integrabilidade à Riemann.. Para uma função contínua ser uniformemente contínua num intervalo é condição suficiente  que este seja limitado e fechado. Conjuntos compactos: definição e T. de Heine-Borel em Rn. Observações sobre a validade do T. de Heine-Borel em espaços métricos diferentes de ℝn: sucessões de Cauchy e espaços completos; conjuntos totalmente limitados.

5 abril 2019, 11:30 Luis Magalhães

Revisão: 
(1) Critério de continuidade num ponto com oscilações.
(2) Critério de continuidade uniforme num intervalo limitado com oscilações.
(3) Critério de integrabilidade à Riemann num intervalo limitado com oscilações.
(4) Condição suficiente para integrabilidade à Riemann: função uniformemente contínua em intervalo limitado.
Observação: O essencial na passagem de continuidadepara continuidade uniforme é a passagem da decomposição de um intervalo em infinitos subintervalos em que a oscilação é simultaneamente arbitrariamente pequena, para um nº finito de intervalos. Esta passagem de infinito para finito é importante e é amplamente explorada.

Proposição: f:I→ℝ contínua num intervalo limitado e fechado I⊂ℝ⇒ f é uniformemente contínua em I (logo, integrável à Riemann em I ). 
(Dem. Se f não fosse uniformemente contínua, para algum ε>0 falharia a condição da definição de continuidade uniforme. Por subdivisão ao meio de cada aresta de intervalos sucessivos poder-se-ia obter sucessão de intervalos fechados {Ij} em que em pelo menos um subintervalo a condição falha. Como ∩jIj={a}∈I (porque I é fechado) e f é contínua em a , ∃R>0 o(f,BR(a))<ε , e a partir de alguma ordem os intervalos estão incluídos em BR(a) , pelo que nesses intervalos a condição é satisfeita, o que é contraditório.)

Observação: Obteve-se um condição suficiente de integrabilidade à Riemann análoga à obtida para integrais simples no semestre passado. Nesta altura sabem sobre integrabilidade à Riemann em intervalos limitados de ℝn mais do que se sabia no semestre passado para integrabilidade à Riemann em intervalos limitados de ℝ , mas as condições em termos de continuidade obtidas são suficientes. Interessa obter uma condição necessária e suficiente, sendo de esperar do que se viu até agora que seja a função limitada ter descontinuidades num conjunto de volume negligível, por poder ser incluído numa união de intervalos com soma de volumes arbitrariamente pequena.

Teorema de Heine-Borel:  Se K⊂ℝn, então:  K é compacto ⇔ K é limitado e fechado.
(Dem.: (⇒) as bolas abertas centradas na origem de raios que são os nºs naturais cobrem K e como ∃ subcobertura finita a bola de tal subcobertura com o maior raio contém K , pelo que K é limitado; os complementares das bolas fechadas centradas num ponto a com raios recíprocos de nºs naturais cobrem ℝn\{a} pelo que se a não pertence a K cobrem K e como ∃ subcobertura finita o conjunto de tal subcobertura que é o complementar da bola fechada com o menor raio contém K e, portanto pertence ao exterior de K, pelo que K é fechado. 
(⇐) supondo que ∃ cobertura aberta de K que não tem subcobertura finita, considerando um intervalo limitado e fechado que contém K e procedendo a subdivisões sucessivas de todas as arestas ao meio obtém-se sucessão de intervalos fechados que intersectados com K não são cobertos por um nº finito de elementos da cobertura considerada e que têm um único ponto em comum que pertence a K ; este ponto pertence a algum conjunto U da cobertura que, como é aberto, contém os subintervalos a partir de alguma ordem, o que é contraditório.

Observações:
(1) A noção de conjunto compacto só envolve conceitos de conjuntos e de conjunto aberto, pelo que é uma noção topológica e pode ser considerada em espaços topológicos, mesmo que não sejam métricos. 
(2) A prova de (⇒) no T. de Heine-Borel não usou propriedades específicas de ℝn, pelo que todo conjunto compacto (mesmo que seja subconjunto de um espaço métrico que não é ℝn) é limitado e fechado. A prova de (⇐) usou duas propriedades específicas de ℝn: produto cartesiano finito de ℝ e axioma do supremo em ℝ para provar que as extremidades das arestas dos subintervalos considerados convergem. Esta última propriedade pode ser substituída pela propriedade do espaço ser completo (no mesmo sentido de ℝ ser obtido completando ℚ) e a 1ª propriedade pode ser substituída por K ser totalmente limitado, ou seja ∀ε>0∃ conjunto finito Fε tal que todos os pontos de K estão a distância <ε de um ponto de Fε (i.e. ∀ε>0 qualquer ponto do conjunto está a distância <ε de um conjunto finito de pontos). Os subconjuntos limitados de um espaço métrico que é espaço linear de dimensão finita são totalmente limitados (exemplos de conjuntos Fε são partições finitas de um intervalo limitado (definido em relação a uma base do espaço linear) que contenha o subconjunto tais que a máxima distância entre pontos de cada subintervalo é <ε 

Definições: Um espaço linear normado (ou um espaço métrico) é completo se toda sucessão de Cauchy é convergente para um ponto do espaço. {uk} é uma sucessão de Cauchy se ∀ε>0N∈ℕk≥N ⇒ d(uk,um)<ε.

Observações: 
(1) A condição de definição de sucessão de Cauchy difere da de sucessão convergente por comparar distâncias de termos da sucessão e não destes com o limite.
(2) ℚ não é completo, ℝ é completo. ℝ pode ser definido como o espaço que completa ℚ. 
(3) Pode-se provar que todo espaço linear normado (ou espaço métrico) que não seja completo pode ser completado acrescentando-lhe elementos, como na extensão de ℚ para ℝ . Uma definição alternativa de ℝ é o menor espaço completo que contém ℚ com a distância entre pontos dada pelo módulo da diferença entre os pontos.

Proposição: Uma sucessão em ℝn é convergente se e só se é sucessão de Cauchy. 
(Dem.: (⇒) é imediata das definições com a desigualdade triangular. (⇐) pode ser provada sem perda de generalidade para sucessões em ℝ ; uma sucessão de Cauchy {uk} é limitada pelo que as sucessões monótonas vm=inf{um,um+1,...} e wm=sup{um,um+1,...} são limitadas e, portanto convergem para limites, resp., L1, L2; como a sucessão é de Cauchy, passando ao limite na condição de definição de sucessão de Cauchy ∀ε>0 |L1-L2|<ε , pelo que L1=L2 e uk→L1=L2 .

Observação: (⇒) é válida em geral em espaços métricos. (⇐) não é válida em geral (exemplo sucesssão crescente de dízimas finitas obtidas truncando a dízima infinita aperiódica de um nº irracional, e.g. 21/2.


25ª Aula - Revisão: R(I) é espaço linear e integral de funções em R(I) é transformação linear. Critério de integrabilidade à Riemann por enquadramento entre funções em escada. Oscilação de função num ponto e caracterização de continuidade num ponto pela oscilação nesse ponto. Critério de integrabilidade à Riemann com oscilações. Continuidade uniforme: motivação, definição exemplos de funções contínuas mas não uniformemente contínuas num conjunto (comparação de quantificadores ). Continuidade uniforme e caracterização de continuidade uniforme num intervalo limitado I pela oscilação nos fechos dos subintervalos intersectados com o intervalo I. Integrabilidade à Riemann de funções uniformemente contínuas em intervalos limitados.

4 abril 2019, 13:00 Luis Magalhães

Revisão: Seja I⊂ℝn intervalo limitado e R(I) o conjunto das funções integráveis à Riemann em I .

(1) R(I) é espaço linear. T:R(I)→ℝ tal que T(f)=∫If é transformação linear.

(2) Critério de integrabilidade à Riemann com enquadramento entre funções em escada: f∈R(I) se e só se ∀ε>0 existem funções em escada s,t em I tais que s≤f≤t e ∫I(t-s)<ε .

Observação: Pretende-se critério de integrabilidade à Riemann mais simples de aplicar. Uma vez mais com utilização de continuidade (já foi assim com limites, noções topológicas e diferenciabilidade).

Definição: Oscilação em conjunto ∅≠A⊂D⊂ℝn de função f:D→ℝ limitada em A , o(f,A) = supA∩Df - infA∩Df .

Proposição: f:I→ℝ limitada em intervalo limitado I⊂ℝn é integrável à Riemann se e só se quaisquer que sejam ε,δ>0 existe uma partição finita P de I e um conjunto C de subintervalos de P tais que o(f,R)<ε para R∈C e ∑RCv(R)<δ , em que v(R) é o volume (n-dimensional) de um subintervalo R da partição. (Dem.: imediata da condição de integrabilidade à Riemann por enquadramento de f entre funções em escada).

Exemplo: Aplicação deste critério para provar a não integrabilidade da função de Dirichlet.

Motivação: Critério de integrabilidade à Riemann em intervalo em termos de continuidade e relação com oscilação de funções.

Definição: Oscilação o(f,a) de função f:D→ℝ, com D⊂ℝn num ponto a∈D , o(f,a)=limr→0o(f,Br(0)∩D) .

Exemplos de oscilação de funções concretas.

Proposição: f:D→ℝ com D⊂ℝn é contínua em a∈D se e só se o(f,a)=0. (Dem.: imediata das definições).

Motivação: Continuidade versus continuidade uniforme: exemplos de funções contínuas não uniformemente contínuas (em intervalos limitados não fechados ou em intervalos fechados não limitados.

Definição: Continuidade uniforme de função f:D→ℝm em ∅≠A⊂D⊂ℝn ∀ε>0δ>0x,yA ||y-x||<δ ⇒ ||f(y)-f(x)||<ε .

Observação: A definição de continuidade uniforme em A difere de continuidade (simples) em A de função f:D→ℝm , em que ∅≠A⊂D⊂ℝ n, apenas na ordem dos quantificadores, pois para a continuidade (simples) é ∀xAε>0δ>0yA ||y-x||<δ ⇒ ||f(y)-f(x)||<ε.

Proposição: f:I→ℝ é uniformemente contínua em intervalo limitado I⊂ℝ n ⇒ f é integrável à Riemann em I . 
(Dem.: O critério de integrabilidade à Riemann com oscilações é satisfeito com todos subintervalos em C ).

Proposição: Se f:I→ℝ e I⊂ℝn é um intervalo limitado, então f é uniformemente contínua em I ⇔ ∀ε>0 ∃ partição finita P de I tal que para todo subintervalo R da partição o(f,R∩I)<ε . 
(Dem.: (⇒) Escolhe-se partição finita P tal que pontos do fecho de um mesmo subintervalo não distam >δ . (⇐) ||f(y)-f(x)||<ε para x,y∈I no fecho de cada subintervalo e ||f(y)-f(x)||<2ε para x,y∈I no fecho de subintervalos adjacentes (a última da desigualdade triangular com um ponto intermédio na fronteira comum dos subintervalos); escolhe-se δ>0 menor do que os comprimentos das arestas de todos subintervalos de P ; se x,y∈I, ||y-x||<δ , então, ||y-x||≤||y-x||<δ e, portanto, x,pertencem ao fecho do mesmo subintervalo de P ou de subintervalos adjacentes, pelo que ||f(y)-f(x)||<2ε ; logo, ∀ε>0δ>0x,yI ||y-x||<δ ⇒ ||f(y)-f(x)||<2ε e, portanto, f é uniformemente contínua em I.)


Exercícios ficha 8 (Inversa/Implícita)

3 abril 2019, 11:00 Manuel Paulo de Oliveira Ricou

Exercícios 2, 4, 5, 6.


Função Inversa/Implícita

2 abril 2019, 15:30 Manuel Paulo de Oliveira Ricou

Exercícios da ficha 6 (Complementos)


24ª Aula - Revisão: Enunciado do T. de Fubini para funções integráveis à Riemann. Definição de conjunto de ordenadas de função e relação do seu volume com o integral da função. Prova do T. de Fubini para integrais de Riemann de funções limitadas em intervalos limitados. Critério de integrabilidade à Riemann por enquadramento da função entre funções em escada com integral da diferença arbitrariamente pequeno.  O conjunto R(I) das funções limitadas integráveis à Riemann num intervalo limitado é um espaço linear e o integral em I define uma transformação linear. Definição de integrabilidade e integral à Riemann em subconjuntos limitados S de ℝn. Volume-n de S no sentido de Riemann; particularização para volume no sentido de Riemann de conjunto de ordenadas de função f≥0 limitada integrável à Riemann em S . Definição de centróide, massa total, centro de massa, momento de inércia em relação a uma recta de conjunto S em que é dada a densidade de massa por volume. Motivação para critério de integrabilidade à Riemann em termos de continuidade da função integranda.

2 abril 2019, 11:30 Luis Magalhães

Revisão: Enunciado do T. de Fubini para funções integráveis à Riemann. Integral de Riemann de f≥0 limitada num intervalo limitado I⊂ℝ em que f é integrável à Riemann é área (volume-2) do conjunto de ordenadas de f .

Definição: Se f:I→ℝ é limitada, I⊂ℝn é um intervalo limitado e f≥0 chama-se conjunto de ordenadas de f a O(f)={(x,y): x∈I, 0≤y≤f(x) }⊂ℝn+1.

Proposição: Se f:I→ℝ é limitada, I⊂ℝn é um intervalo limitado e f≥0 o volume ((n+1)-dimensional) do conjunto de ordenadas O(f) de f existe se e só se f é integrável em I e  voln+1(O(f)) =∫f (generalizando no caso n=1 ∫f dar a área do conjunto de ordenadas de f ).
(Dem.: Como f é limitada, O(f)⊂Ix[0,supIf] e voln+1(O(f)) = ∫Ix[0,supIχO(f) ; se este integral existe, do Teorema de Fubini  voln+1(O(f)) = ∫[ ∫[0,supIf]χO(f)(x,y) dy] dx = ∫[ ∫[0,f(x)]1 dy]dx = ∫f(x) dx= ∫f ).

Prova do T. de Fubini para funções limitadas integráveis à Riemann em intervalos limitados. 

Proposição (critério de integrabilidade à Riemann por enquadramento entre funções em escada): Se f:I→ℝ é limitada e I⊂ℝn é um intervalo limitado. então f é integrável à Riemann em I se e só se ∀ε>0 existem funções em escada s,t em I tais que s≤f≤t e ∫I(t-s)<ε . (Dem.: Imediata da definição de função integrável à Riemann).

Revisão: Critério de integrabilidade à Riemann por enquadramento entre funções em escada: Se f:I→ℝ é limitada e I⊂ℝn é um intervalo limitado. então f é integrável à Riemann em I se e só se ∀ε>0 existem funções em escada s,t em I tais que s≤f≤t e ∫I(t-s)<ε .

Prova: Imediata da definição de função integrável à Riemann.

Proposição: O conjunto R(I) das funções limitadas de um intervalo limitado I⊂ℝn em ℝ que são integráveis à Riemann é um espaço linear e a função f↦∫If é uma transformação linear de R(I) em ℝ .

(Dem.: R(I) é um subconjunto não vazio do espaço linear ℝI das funções de I em ℝ com a adição e a multiplicação por números reais definidas ponto a ponto, e aplicação do critério de integrabilidade por encaixe entre funções em escada para provar que satisfaz as propriedades de fecho em relação às duas operações e que para f,g∈R(I) e c∈ℝ é ∫I(f+g)=∫If+∫Ig e ∫Icf=c∫If ).

Definição: Se f:S→ℝ é limitada em S⊂ℝn limitado, diz-se que f é integrável em S se a extensão de f que é 0 fora de S é integrável num intervalo limitado I com int I⊃S; em caso afirmativo chama-se integral de Riemann de f em S ao integral dessa extensão em I .

Observação: Integrabilidade e integral de Riemann assim definidos são independentes do intervalo considerado, pois nos subintervalos de um ou outro que nã pertencem à intersecção a função é 0 e tem integral 0..

Definições:
(1) Volume (n-dimensional) de conjunto não vazio limitado S⊂ℝn no sentido de Riemann é  Vn(S) = ∫S1 , quando este integral à Riemann existe.
(2) Volume no sentido de Riemann de conjunto de ordenadas de função f≥0 limitada integrável à Riemann em conjunto limitado S⊂ℝn: Vn+1(O(f)) = ∫Sf , quando f é integrável à Riemann em S .
(3) Centróide de conjunto não vazio limitado S⊂ℝn é ponto ã=(ã1, ... , ãn) tal que  ãj= ∫xdx1⋯ dxn.
(4) Massa total, centro de massa e momento de inércia em relação a uma recta, de corpo que ocupa um conjunto S⊂ℝn com densidade de massa por volume dada por uma função f integrável em S (análogo para qualquer outra grandeza escalar especificada por densidade por volume, e.g. densidade de carga eléctrica).

Motivação para critério de integrabilidade à Riemann em termos de continuidade da função integranda: 

Interessa obter uma condição necessária e suficiente de integrabilidade à Riemann mais fácil de aplicar do que recorrendo a encaixe por funções em escada, em particular recorrendo a propriedades das operações usuais com funções, pelo que é natural procurar uma tal caracterização de integrabilidade à Riemann em termos de continuidade de funções. 
Sabe-se do 1º semestre que uma condição suficiente para integrabilidade à Riemann de uma função num intervalo de ℝ limitado e fechado é que seja contínua nesse intervalo. Interessa estender esta condição suficiente de integrabilidade à Riemann para funções de mais de uma variável e também obter uma condição necessária e suficiente em termos de continuidade da função (o que também caracterizará as funções com integrais simples em intervalos limitados e fechados em termos de continuidade das funções). 
Obter-se-à que uma função limitada é integrável à Riemann num intervalo limitado e fechado se e só se é contínua excepto possivelmente num conjunto de volume negligível no sentido de para qualquer ε>0 estar contido numa união de intervalos com soma de volumes <ε (se é com conjuntos finitos de intervalos diz-se que o conjunto tem conteúdo nulo; se é com conjuntos numeráveis de intervalos diz-se que tem medida nula).