17ª Aula - Revisão: T. de Weierstrass para campos escalares e necessidade de ser ponto de estacionaridade para existência de extremo num ponto de diferenciabilidade. Exemplos de aplicação de T. Weierstrass na determinação de extremos absolutos e relativos de campos escalares, determinação de extremos na fronteira do domínio, e de continuum de pontos de sela ou de extremos. Rrevisão de funções de 1 variável: Fórmula de Taylor de ordem k para funções reais de variável real e aplicação a obter condições suficientes para máximo ou mínimo relativos com base na 2ª derivada. Fórmula de Taylor de ordem k para campos escalares, e particularização para 2ª ordem com matriz hessiana. Relação de condição suficiente para ponto de estacionaridade ser de max. (resp., min.) se a matriz hessiana é definida negativa (resp., positiva).

21 março 2019, 13:00 • Luis Magalhães

Revisão: T. de Weierstrass para campos escalares, condição necessária (mas não suficiente) para extremo de campo escalar em ponto a interior ao domínio em que exista f'(a;v) com v≠0 é f'(a;v)=0 ; em ponto a interior ao domínio em que existam todas derivadas parciais é ser ponto de estacionaridade: ∇f(a)=0  . Os extremos relativos de campos diferenciáveis num conjunto D não aberto podem ser em pontos interiores de estacionaridade ou em pontos da fronteira.

Exemplos: Aplicação do Teorema de Weierstrass na determinação de extremos de campos escalares, e determinação de extremos em pontos da fronteira do domínio de campos escalares. Exemplos de campos escalares com um continuum de pontos de sela ou de pontos de extremo e de campos escalares sem extremos e com pontos de sela.

Revisão de funções reais de variável real: 
(1) Fórmula de Taylor de ordem k (k∈ℕ) na vizinhança de 0 para função real de variável real g:I→ℝ, com I⊂ℝ intervalo aberto, 0∈I e g com derivada k+1 em I, com resto de Lagrange: g(t)=Σ^k_j=0 (1/j!) g^(j)(0) t^j + (1/(k+1)!) g^(k+1)(t*) t^k+1, para algum t* entre 0 e t , para |t| suficientemente pequeno.
(2) Aplicação da Fórmula de Taylor de 2ª ordem para função real de variável real g:I→ℝ, com I⊂ℝ intervalo e g diferenciável em int I , para obter condições suficientes de máximo relativo (g'(c)<0) ou mínimo relativo (g'(c)>0) em ponto de estacionaridade c∈int I (g'(c)=0) . Exemplos de que se g''(c)=g'(c)=0 com análise de 2ª ordem nada se pode concluir, pois c pode ser ponto de máximo, mínimo ou inflexão (neste caso é preciso estudar mais aprofundadamente a funções, incluindo a possibilidade de utilizar Fórmula de Taylor de ordem superior, mas não necessariamente. Motivação para consideração de testes de 2ª ordem para obter condições suficientes de classificação de extremos de campos escalares.

Fórmula de Taylor de ordem k para campos escalares: Se f:D→ℝ, D⊂ℝⁿ, f é C^k+1 em B_R(a)⊂D , h=(h₁, ... , h_n)∈ℝⁿ, ||h||<R , com R>0 , então
f(a+h) = Σ^k_j=0 (1/j!) Σ^k _(i1,...,i_j)∈{1,...,n}^j  D_i1,...,i_j f(a) h_i1···h_ij + ||h||^kE_k(a,h) , com E_k(a,h)→0 quando h→0 .
(dem.: fórmula de Taylor de ordem k para a função real de variável real g(t)=f(a+th) na vizinhança de 0 com resto de Lagrange, e prova de E_k(a,h)→0 quando h→0 usando Teorema de Weierstrass para majorar os módulos das derivadas parciais de ordem k+1).

Observação: É possível enfraquecer a hipótese para f C^k, mas não se prova aqui.

Definição: Matriz hessiana de campo escalar f em ponto a onde existem todas as derivadas de 2ª ordem: H_f(a)=[D_ijf(a)]_i,j=1^n,n.

Fórmula de Taylor de 2ª ordem para campos escalares: .Se f:D→ℝ, D⊂ℝⁿ, f é C³ em B_R(a)⊂D, h∈ℝⁿ, ||h||<R  (foi estabelecida com resto de Lagrange usando C³ mas também válida se f é C²) , então f(a+h) - f(a) = Df(a)h + (1/2) h^t H_f(a) h + ||h||²E₂(a,h) , com E₂(a,h)→0 quando h→0 .

Observação: Como para 1 variável real, num ponto de estacionaridade a de f o termo linear é nulo, e se o termo quadrático é >0 (resp., <0) para todo h≠0 , como para h suficientemente pequeno este termo domina o termo de erro, f tem um mínimo (resp. máximo) relativo em a . 

Proposição: Para que um ponto de estacionaridade a de um campo escalar C² numa bola aberta centrada em a ser ponto de mínimo relativo, máximo relativo, sela é suficiente que a matriz hessiana, que devido ao Lema de Schwarz é simétrica por f ser C², seja, resp., definida positiva, definida negativa, indefinida (dem.: se H_f(a) é definida positiva aplicação da Fórmula de Taylor de 2ª ordem e do T. de Weierstrass aos termos de 2ª ordem sobre o conjunto dos vectores de norma 1; se H_f(a) é definida negativa, aplicar anterior a -f ; se H_f(a) é indefinida, ∃h₁,h₂≠0 com h₁^tH_f(a)h₁>0 e h₂^tH_f(a)h₂<0 e o mesmo argumento garante que para h₁,h₂ suficientemente pequenos f(a+h)-f(a) é >0 e <0 para (resp.) h igual a h₁ e h₂ ).

Exercícios diversos, 1º mini-teste

20 março 2019, 11:00 • Manuel Paulo de Oliveira Ricou

Exercícios do livro do Prof. Gabriel Pires (p. 81), e ficha 4.

Exrcícios das fichas 3 e 4

19 março 2019, 15:30 • Manuel Paulo de Oliveira Ricou

Exercícios das fichas 3 e 4.

16ª Aula - Introdução a determinação de extremos de campos escalares. Exemplos concretos de classificação de pontos de estacionaridade (pontos de máximo, mínimo ou sela) analisando a função sobre rectas que passam no ponto de estacionaridade ou com T. de Weierstrass, e motivação para condições com derivadas de 2ª ordem. Condição necessária para haver de extremo relativo de campo escalar para que existem todas derivadas parciais de 1ª ordem (pontos de estacionaridade interiores ao domínio ou pontos fronteiros). T. de Wierstrass (campos escalares contínuos em conjuntos limitados e fechados).

19 março 2019, 11:30 • Luis Magalhães

Exemplo de transformação de coordenadas cartesianas para esféricas e cálculo de derivadas parciais em coordenadas esféricas.

Definições: Pontos de máximo relativo, mínimo relativo, extremo relativo, máximo absoluto, mínimo absoluto de campos escalares. Ponto de estacionaridade de campo escalar f (∇f(a)=0) . Ponto de sela de campo escalar f (ponto de estacionaridade a tal que em qualquer bola aberta nele centrada f assume valores maiores e menores do que o f(a) .

Proposição: Para um campo escalar f ter extremo num ponto interior ao domínio em que todas as derivadas parciais de 1ª ordem existem é necessário que o ponto seja de estacionaridade de f (dem.: restrições a rectas paralelas aos eixos coordenados definem funções reais de variável real diferenciáveis com extremo no ponto correspondente e aplicação do resultado para estas funções de 1 variável real).

Observações: 
(1) Esta condição é necessária, mas não é suficiente, pois o ponto pode ser de inflexão em dim=1 ou de sela em dim>1 (e.g. f(x,y)=xy ).
(2) Extremos relativos de campos escalares que têm todas derivadas parciais de 1ª ordem em int D , com D⊂ℝⁿ, só podem ocorrer em pontos de estacionaridade de int D ou em pontos de ∂D.

Exemplo: Determinação de extremos e pontos de sela de um campo escalar em ℝ² concreto com pontos de sela e um máximo relativo, sem mínimos relativos nem extremos absolutos. Motivação para testes de 2ª ordem para classificação de pontos de estacionaridade e para Teorema de Weierstrass para campos escalares.

Definições: Subconjunto de ℝⁿ limitado e intervalo em  ℝⁿ.

Teorema de Weierstrass:  Campos escalares f contínuos em subconjuntos limitados e fechados ∅≠D⊂ℝ ⁿ assumem máximo e mínimo (absolutos).
(dem.: como foi feito para ℝ: argumento por absurdo e subdivisão ao meio sucessiva das arestas de intervalo que contém D para provar que f é limitada em D , usando D ser fechado e f ser contínua em D; prova de f assumir um máximo aplicando o que se obteve à função contínua (sup _Df-f) ^-1 sob a hipótese de sup _Df não ser assumido por f que leva a contradição; prova de f assumir o mínimo por a função contínua -f assumir o máximo). 

15ª Aula - Teorema de valor intermédio em ℝ2 com derivadas parciais de 2ª ordem. Existência e igualdade das derivadas parciais de 2ª ordem em relação a 2 variáveis diferentes se uma existe e é contínua e a 1ª derivada parcial considerada na outra derivada parcial de 2ª ordem existe. L. de Schwarz para derivadas parciais de ordem >1. Funções Ck e C∞ e L. de Schwarz para funções Ck. Coordenadas polares, cilíndricas e esféricas e aplicação da regra de derivação da função composta para determinar derivadas parciais de campos escalares num destes sistemas de coordenadas.

18 março 2019, 11:30 • Luis Magalhães

Teorema de valor intermédio em ℝ² com derivadas parciais de 2ª ordem: Se f:D→ℝ, D⊂ℝ² é aberto, a=(a₁,a₂)∈D, h=(h₁,h₂)∈ℝ², R_h=[a₁,a₁+h₁]x[a₂,a₂+h₂]⊂D , D₂₁f existe em D , então ∃c_h∈int R_h: [f(a₁+h₁,a₂+h₂) - f(a₁+h₁,a₂)] - [f(a₁,a₂+h₂) - f(a₁,a₂)] = D₂₁f(c_hh₁h₂ .

(Dem: Duas aplicações do T. de Lagrange em 1 variável e regra de derivação da função composta também em 1 variável). 

Lema de Schwarz para derivadas parciais de 2ª ordem com 2 variáveis: Se f:D→ℝ, com D⊂ℝ² é aberto, D₂₁f e D₂f existem em D e D₂₁f é contínua em a∈int D , então D₁₂f(a) existe e D₁₂f(a)=D₂₁f(a) (Dem.: aplicação do T. de valor intermédio com derivadas parciais de 2ª ordem, continuidade de D₂₁f , limites iterados e definição de derivada parcial).

Definição e notações para derivadas parciais de ordem k∈ℕ de campos escalares ou vectoriais.

Definição: Se  f:D→ℝ^m, D⊂ℝⁿ aberto, diz-se que f é C^k, com k∈ℕ (f é continuamente diferenciável até ordem k) se todas as derivadas parciais de f até ordem k, inclusivé, existem e são contínuas em D ; diz-se que f é C^∞ ou indefinidamente diferenciável e se é C^k para todo k∈ℕ ; se D não é aberto, diz-se que é C^k em D (k∈ℕ ou k=∞) se existe uma extensão F de f a um aberto que contém D tal que F é C^k.

Lema de Schwarz para derivadas parciais de ordem k em n variáveis (versão simplificada): Se  f:D→ℝ^m, D⊂ℝⁿ, é C^k, então as derivadas parciais até ordem k, inclusivé, são invariantes com permutações das variáveis de derivação 

(Dem.: sem perda de generalidade consideram-se campos escalares, aplicação sucessiva de trocas de pares de variáveis e do Lema de Schwarz para derivadas parciais de 2ª ordem com duas variáveis). 

Observação: Comparando com o Lema de Schwarz para derivadas parciais de 2ª ordem com 2 variáveis vê-se que é possível considerar hipóteses menos restritivas.

Coordenadas polares, cilíndricas e esféricas e aplicação da regra de derivação da função composta para determinar uma qualquer das derivadas parciais de um campo escalar diferenciável num destes sistemas de coordenadas em termos das derivadas parciais do campo em coordenadas cartesianas. Ilustração geométrica e conjuntos de singularidade destas transformações de coordenadas.