10ª Aula - Revisão de diferenciabilidade e derivada de funções reais de variável real e definição de diferenciabilidade e derivada de n variáveis reais com valores em ℝm (incluindo unicidade de derivada). Revisão da noção de diferenciabilidade e derivada de funções de n variáveis reais com valores em ℝm. Continuidade de funções diferenciáveis. Matriz jacobiana, derivadas parciais; gradiante de campo escalar. Estratégia para determinar se uma função é diferenciável e calcular derivadas, e motivação da utilização de regras de diferenciação.

8 março 2019, 08:00 • Luis Magalhães

(aula de substituição da aula marcada para 15/03/2019)

Revisão do secundário: Definição de derivada e de fórmula de Taylor de 1ª ordem para função real de variável real e que diferenciabilidade equivale a existência de recta tangente com declive finito (que dá uma aproximação da função que dá acréscimos de valores da função em termos de acréscimos da variável independente por uma transformação linear, a menos de um erro que tende para 0 em ordem superior a 1 quando o acréscimo na variável independente tende para 0 ).

Observação: Existência de derivada para funções de n variáveis reais num ponto corresponde a existência de plano-n tangente ao gráfico da função no ponto correspondente; a derivada no ponto é a transformação linear cujo gráfico é a translação do plano tangente ao gráfico da função para a origem.

Definições: Função com valores em ℝⁿ e variáveis em ℝ^m diferenciável num ponto interior do domínio; a derivada de função f em ponto a (é uma transformação linear f'(a)∈L(ℝⁿ,ℝ^m) . Mais explicitamente, se f:D→ℝ^m, com D⊂ℝⁿ, é diferenciável em a∈int D se ∃ transformação linear f´(a)∈L(ℝⁿ,ℝ^m) tal que se verifica a Fórmula de Taylor de 1ª ordem de f em a dada por f(a+h)-f(a)=[f´(a)](h)+||h||E(a,h) com E(a,h)→0 quando h→0 . f é diferenciável num conjunto S⊂int D se é diferenciável em cada a∈S .

Observação: Com esta definição a derivada de função real de variável real é a transformação linear em ℝ com representação matricial na base canónica [m] em que m é o declive da recta tangente (ou seja o valor numérico da derivada clássica da função real de variável real).

Proposição: Se f:D→ℝ^m, com D⊂ℝⁿ, é diferenciável em a∈int D, então a derivada f´(a) é única.

Revisão: Definição de diferenciabilidade e derivada de função f:D→ℝ^m, com D⊂ℝⁿ, em a∈int D, corresponde a existência de plano tangente. ao gráfico da função em (a,f(a)): f´(a)∈L(ℝⁿ,ℝ^m) é a transformação linear cujo gráfico é a translação do plano tangente ao gráfico da função para a origem;  f é diferenciável em a se ∃ f´(a)∈L(ℝⁿ,ℝ^m) tal que se verifica a Fórmula de Taylor de 1ª ordem de f em a dada por f(a+h)-f(a)=[f´(a)](h)+||h||E(a,h) com E(a,h)→0 quando h→0 . Se f:D→ℝ^m, com D⊂ℝⁿ, é diferenciável em a∈int D , então a derivada f´(a) é única.

Definição: Matriz jacobiana de f:D→ℝ^m, com D⊂ℝⁿ, f=(f₁,...,f_m) em a∈int D é matriz mxn Df(a)=[D_jf_i(a)]_i,j=(∂f/∂x)(a)=[(∂f_i/∂x_j)(a)]_i,j , i=1,...,m, j=1,...,n, se derivadas parciais de f em a existem. Derivada parcial de f em relação à componente j em a é Df_j(a)=(D_jf₁(a),...,D_jf_m(a))=(∂f/∂x_j)(a)=((∂f₁/∂x_j)(a),...,(∂f_m/∂x_j)(a)) , em que (∂f_i/∂x_j)(a)=lim_t→0[f(a+te_j)-f(a)]/t , em que (e₁, ...,e_n) é a base canónica de ℝⁿ. 

Observação: Se  f:D→ℝ, com D⊂ℝⁿ, e g(h)=f(a+he_j)=f(a₁,...,a_j-1,a_j+h,a_j+1,...,a_n) , então (∂f/∂x_j)(a)=g´(0) , ou seja é a derivada da função g que dá os valores de f em função da componente x_j com as outras componentes fixas com os valores das correspondentes componentes de a .

Proposição: Se f:D→ℝ^m, com D⊂ℝⁿ, é diferenciável em a∈int D, então a matriz jacobiana e as derivadas parciais de f em a existem e f´(a)(h)=Df(a)h, D_jf(a)=f´(a)(e_j), D_jf_i(a)=(∂f_i/∂x_j)(a)=f_i´(a)(e_j) . 

Exemplo: A matriz jacobiana (i.e. todas as derivadas parciais) podem existir sem a função ser diferenciável (i.e. sem a função ter derivada).

Observação: Se f:D→ℝ^m, com D⊂ℝⁿ, é diferenciável em a∈int D , o plano-n tangente ao gráfico de f em (a,f(a)) é o gráfico de x↦f´(a)(x-a)+f(a) , ou seja é G(f´(a))+{(a,f(a)}  e a equação cartesiana deste plano-n (em ℝ^n+m) é y=Df(a)(x-a)+f(a) , com (x,y)∈ℝⁿxℝ^m.

Observação: Para determinar se uma dada função f é diferenciável num ponto a interior ao domínio da função a partir da definição:
    (1º) Calcular as derivadas parciais de todas as componentes em relação a todas as variáveis em a ; 
    (2º) Se pelo menos uma não existe, f não é diferenciável em a ; 
    (3º) Se todas as derivadas parciais existem, usam-se para escrever a matriz jacobiana Df(a) e determina-se se o termo de erro na Fórmula de Taylor de 1ª ordem de f em a a dividir por ||h|| , E(a,h)=[f(a+h)-f(a)-Df(a)h]/||h||→0 quando h→0 ; 
    (4º) se não, f não é diferenciável em a ; 
    (5º) se sim, f é diferenciável em a e a derivada é dada por f´(a)(h)=Df(a)h (determinar diferenciabilidade reduz-se a um problema de limites: determinar se uma função associada (i.e. h↦E(a,h)) tem limite 0 em 0 , que é uma indeterminação 0/0 no caso da derivada existir).
Determinar se uma função é diferenciável a partir da definição envolve determinar se o limite de uma indeterminação 0/0 existe e é 0 , o que em geral é trabalhoso. Por isso, interessa ter condições mais simples suficientes para diferenciabilidade a partir das operações elementares com funções e regras de derivação, como para funções reais de variável real.

Interessa ter condições em que se possa determinar se uma função é diferenciável e calcular a derivada sem ter de recorrer à definição, e, portanto, sem ter de calcular um liite correspondente a uma indeterminação 0/0 . Tal como no caso de limites e continuidade, para isso usam-se propriedades de diferenciabilidade e regras de derivação de operações de funções.

9ª Aula - Revisão de conjunto aberto ou fechado relat. a um subconjunto de ℝn que o contém e da caracterização topológica de continuidade. Exemplos de conjuntos abertos ou fechados relat. a um conjunto que os contém e propriedades gerais de conjuntos relat. abertos ou fechados. Conjuntos conexos e conjuntos desconexos. Aplicações de preimagens de conjuntos abertos (resp., fechados) por funções contínuas serem conjuntos abertos (resp., fechados) relat. ao domínio, incluindo conjuntos de nível de campos escalares, conjuntos em que os valores são maiores (ou menores) do que um dado valor, e gráficos de funções.

7 março 2019, 13:00 • Luis Magalhães

Revisão: Subconjunto de ℝⁿ aberto (resp. fechado) relativamente a um subconjunto de ℝⁿ que o contém. Caracterização topológica de continuidade: f:D→ℝ^m, com D⊂ℝⁿ é contínua se e só se a preimagem por f de qualquer aberto em ℝ^m é aberto relativamente ao domínio D (ilustração geométrica). Esta propriedade pode ser usada para definir funções contínuas em espaços topológicos não métricos.

Exemplos: Conjuntos em ℝ² que não são abertos nem fechados em ℝ² e são abertos relat. a um D₁⊂ℝ² e fechados relat. a um D₂⊂ℝ².  Conjuntos em  ℝ² abertos relat. a um conjunto D⊂ℝ². Conjuntos em  ℝ² fechados relat. a um conjunto D⊂ℝ². 

Proposições: Seja D⊂ℝⁿ.
(1) D é aberto e fechado relativ. a D .
(2) Se D é aberto (resp., fechado), então S⊂D é aberto (resp., fechado) relat. a D se e só se S é aberto (resp. fechado) em ℝⁿ. 
(3) S⊂D é aberto (resp., fechado) relat. a D se e só se D\S é fechado (resp., aberto) relat. a D . 
(4) Uniões (resp., intersecções) de subconjuntos de ℝⁿ abertos (resp., fechados) relat. a um D⊂ℝⁿ são conjuntos abertos (resp. fechados) relat. a D ; 
(5) Intersecções (resp., uniões) finitas de subconjuntos de ℝⁿ abertos (resp., fechados) relat. a um D⊂ℝⁿ são conjuntos abertos (resp. fechados) relat. a D .
(6) Preimagens por função contínua de conjuntos fechados são conjuntos fechados relat. ao domínio da função.

Observação: ℝⁿ e ∅ são os únicos subconjuntos de ℝⁿ simultaneamente abertos e fechados em ℝⁿ. Se D⊂ℝⁿ e D≠ℝⁿ, D e ∅ são simultaneamente abertos e fechado relat. a D, mas pode haver outros subconjuntos de D simultaneamente abertos e fechados; exemplo.

Definição: Diz-se que D⊂ℝⁿ é um conjunto conexo se os seus únicos subconjuntos simultaneamente abertos e fechados são D e ∅ . Caso contrário diz-se que é desconexo. 

Proposição: D⊂ℝⁿ é desconexo ⇔ ∃ conjuntos disjuntos A,B≠∅ abertos relat. a D tais que D=AUB ⇔ ∃ conjuntos disjuntos A,B≠∅ fechados relat. a D tais que D=AUB .

Exemplo: Identificação de que um conjunto é aberto (resp., fechado) por ser a preimagem de um conjunto aberto (res., fechado) por uma função contínua definida num conjunto aberto (conjuntos de nível são fechados relat. ao domínio, conjuntos de sub- ou sobre- nível estrito (resp., lato) são abertos (resp., fechados) relat. ao domínio.

Proposição: Conjuntos de nível e gráficos de funções contínuas de D⊂ℝⁿ em ℝ^m são fechados relat. a, resp., D e Dxℝ^m; se D é fechado são subconjuntos fechados de, resp., ℝⁿ e ℝ^n+m. 

Exemplos: Identificação de conjuntos abertos ou fechados definidos por condições envolvendo funções contínuas, em particular, conjuntos de nível, sub- e sobre- nível de campos escalares contínuos (exemplos de gráfico de um campo escalar contínuo em ℝ² e da superfície de um tóro ("doughnut") em ℝ³ descrito por uma equação cartesiana). 

Observação: A continuidade de funções, via caracterização topológica de continuidade, é uma ajuda preciosa para facilitar a identificação se certos conjuntos são abertos ou fechados, o que pode ser muito mais difícil a partir das definições, devido à necessidade de determinar raios de bolas apropriados a identificar pontos do interior, exterior ou fronteira. A utilidade de continuidade para simplificação de cálculo de limites de funções quando se pode garantir continuidade sem cálculo do limite já tinha também simplificado radicalmente o cálculo de certos limites. Iremos encontrar várias outars situações em que continuidade de funções simplificam radicalmente outras questões, nomeadamente em cálculo diferencial e cálculo integral.

Exercícios da ficha 3

6 março 2019, 11:00 • Manuel Paulo de Oliveira Ricou

exercícios da ficha 3

8ª Aula - Revisão: Aspectos de limites de funções de várias variáveis reais; continuidade de funções obtidas com operações com campos escalares contínuos. Exemplos de determinar conjuntos de pontos de continuidade de campos escalares com propriedades de operações. Continuidade de funções definidas com operações de campos vectoriais. Caracterização topológica de continuidade, preimagens de subconjuntos de espaços de chegada de funções, conjuntos abertos relativamente a um conjunto que os contém.

1 março 2019, 11:30 • Luis Magalhães

Revisão Uma função de várias variáveis reais pode ter um mesmo limite sobre todas as rectas que passam num ponto sem ter limite nesse ponto (por haver algum outro modo de aproximação desse ponto no domínio da função em que a função não converge ou converge para outro valor (exemplo dado antes). Pode ser útil uma transformação de variáveis para passar de uma função a outra em que seja mais fácil calcular o limite (exemplo dado antes). Somas, produtos, quocientes em pontos em que o denominador é ≠0 de campos esclares contínuos são funções contínuas.

Exemplos: Continuidade de campos escalares concretos em ℝⁿ, incluindo definição e continuidade  de polinómios em n variáveis reais.

Proposição: Somas, produtos internos e produto externo (se espaço de chegada é ℝ³), são funções contínuas.

Proposição: Composições fog de campos escalares ou vectoriais g contínuo num ponto a e f contínuo em g(a) são contínuos em a .

Exemplos: Determinação de domínio, conjunto de pontos de continuidade e conjunto máximo de extensão por continuidade de campos escalares ou vectoriais, com aplicação das propriedades de continuidade com operações. 

Caracterização topológica de continuidade de f:D→ℝ^m, com D⊂ℝⁿ.

Ilustração gráfica da ideia, 
Definições: 
(1) Preimagem ou imagem inversa de conjunto A⊂ℝ^m por f:D→ℝ^m é f^-1(A)={x∈D: f(x)∈A} ; 

(2) Diz-se que S⊂D⊂ℝⁿ é aberto relativamente a D se existe um conjunto abertoU⊂ℝⁿ tal que S=U∩D.

Proposição: f:D→ℝ^m com D⊂ℝⁿ é contínua se e só se preimagens de subconjuntos abertos de ℝ^m são conjuntos abertos relativamente a D.

Observações: 
(1) Este resultado é uma caracterização topológica de continuidade. Pode ser adoptada para estender a definição de funções contínuas a espaços topológicos não métricos.
(2) O resultado pode ser aplicado para determinação de conjuntos abertos ou fechados com base em funções contínuas.
(3) Uma função pode não ser invertível, mas existem sempre preimagens dos subconjuntos do resp. espaço de chegada. Uma função é invertível se e só se as preimagens de subconjuntos singulares do espaço de chegada não vazias são subconjuntos singulares do domínio.

7ª Aula - Revisão: Estratégias para averiguar existência e calcular limites. Limites iterados. Determinação de limites com coordenadas polares. Continuidade de transformações lineares. Definição de funções polinomiais de várias variáveis reais. Continuidade de somas, produtos  e quocientes por campos escalares em pontos em que denominador não é nulo.

28 fevereiro 2019, 13:00 • Luis Magalhães

Revisão: 3 estratégias para limites, f:D→ℝ, D⊂ℝ ⁿ,  a∈D' :
(1) se é possível garantir que  f é contínua em  a sem calcular o limite em  a , lim _a f= f( a) ;
(2) para provar lim _x→a f( x)= b  , majorar || f( x)- b||≤g( x) com lim _ag=0 ; 
(3) para provar que lim _a f não existe, encontrar uma sucessão x _k→ a com  x _k≠ a em D para que limite de {f( x _k)} não exista ou outra sucessão  y _k→ a com  y _k≠ a em D com limite diferente.

Exemplos concretos de inexistência de limite e de cálculo de limite. Exploração de simetrias e de mudanças de variáveis. 

Limites iterados: se diferentes não há limite; se iguais é inconclusivo.

Exemplos com limites iterados.

Exemplo de utilidade de coordenadas polares na determinação de limites.

Proposição: Toda transformação linear de ℝⁿ em ℝ^m é contínua em ℝⁿ (Dem. majoração de ||f(x)-f(a)|| a partir de representação matricial de f nas bases canónicas).

Exemplos: Determinação de continuidade em exemplos concretos de campos escalares e vectoriais que são transformações lineares

Proposição: Somas, produtos e quocientes de campos escalares contínuos num ponto a (no caso de quocientes com denominador ≠0 em a) são contínuos em a .