Exercícios da ficha 11

11 maio 2018, 12:30 • Manuel Paulo de Oliveira Ricou

Revisão exercício 5 da ficha 10 (C),

44ª Aula - O gráfico de função f de um intervalo real em ℝn é curva simples em ℝn+1 se e só se f é contínua, curva regular simples se e só se f é C1, curva regular simples Ck se e só se f é Ck.  Caminhos equivalentes: definição e propriedade que caminhos regulares simples que representam uma mesma curva são equivalentes. Curvas C1 têm medida nula; referência a curvas que preenchem espaço. Caminhos e curvas rectificáveis e comprimento de caminho e de curva: definições, comprimentos de caminhos rectificáveis equivalentes são iguais, caminhos C1 com derivada limitada num intervalo limitado são rectificáveis, comprimento de gráfico de função C1 com derivada limitada q.t.p. num intervalo limitado I. Campos vectoriais conservativos e não conservativos.

11 maio 2018, 11:30 • Luis Magalhães

Proposição: Se f:I→ℝⁿ e I⊂ℝ é um intervalo, o gráfico G(f) de f é curva simples em ℝⁿ⁺¹ se e só se f é contínua;  é C^k se f é curva regular simples se e só se f é C1; é curva regular simples Ck se e só se f é C¹. (Dem.: Utilizara representação paramétrrica g:I→ℝⁿ tal que g(t)=(t,f(t)) ).

Definição: Caminhos g:I→ℝⁿ,  h:J→ℝⁿ são equivalentes se existe uma bijecção C¹ φ:I→J , φ'(t)≠0 para t∈I, tal que h=g∘φ. Se φ'(t)>0 diz-se que os caminhos têm o mesmo sentido; se φ'(t)<0 diz-se que têm sentidos opostos (ou contrários, ou inversos).

Proposição: Caminhos regulares simples g:I→ℝⁿ,  h:J→ℝⁿque representam uma mesma curva são equivalentes (Dem.: Considerar a a função F(t,s)=g(t)-h(s) e aplicar o TFImplícita). 

Observações: 
(1) Se g:I→ℝⁿ é um caminho C¹, a curva que representa C=g(I) é um subconjunto de medida nula de ℝⁿ. Logo, não interessa considerar integrais sobre curvas em ℝⁿ dados por integrais múltiplos em ℝⁿ, mas observar que um caminho representa uma curva em função de um parâmetro real, fazendo corresponder a pontos num intervalo real pontos de ℝⁿ, pelo que o integral sobre a curva a considerar deve ser definido como um integral simples sobre o intervalo real mediante a representação pelo caminho.
(2) Se o caminho não é C¹ a observação anterior falha. Por exemplo, há caminhos com contradomínio que é todo o interior do quadrado [0,1]² (não podem ser caminhos simples), ou seja existem curvas (que não podem ser simples) que preenchem espaço ("space filling curves"); o 1º exemplo foi dado por G. Peano em 1890.

Proposição: Integrais de linha de campos escalares integráveis em caminhos seccionalmente C¹ simples equivalentes são iguais, e de campos vectoriais integráveis são iguais ou simétricos conforme os caminhos têm o mesmo sentido ou sentidos opostos. (Dem.: Considerar concatenação de caminhos C¹ simples e em cada subintervalo correspondente aplicar o TMVI para integrais simples).

Definições:
(1) Chama-se comprimento de caminho g:I→ℝⁿ a L_g= ∫_I ||g'|| , se ||g'|| é integrável em I . Neste caso diz-se que g é rectificável.
(2) Diz-se que uma curva é rectificável se existe pelo menos um caminho rectificável que a representa. Chama-se comprimento de uma curva rectificável ao ínfimo dos comprimentos de caminhos rectificáveis que a representam.

Observação: Se g:I→ℝⁿ é um caminho rectificável, o supremo do conjunto dos comprimentos de linhas poligonais inscritas na curva C=g(I) é o comprimento L_g do caminho, pelo que se ||g'|| é integrável em I a definição dada concorda com a definição de comprimento como supremo do conjunto dos comprimentos de linhas poligonais inscritas na curva C=g(I) .

Proposições: 
(1) Caminhos C¹ com derivada limitada num intervalo limitado são rectificáveis (Dem.: Aplicar o critério de integrabilidade à Riemann de Lebesgue).
(2) Comprimentos de caminhos rectificáveis equivalentes são iguais (Dem. aplicar o TMVI).
(3) O gráfico G(f) de uma função f:I→ℝⁿ  C¹ q.t.p. em I , com  I⊂ℝ um intervalo limitado, tem comprimento L=∫_I (1+||f´||²)^1/2 sempre que o integral exista. Se o integral não existir a curva G(f) não é rectificável (Dem.: considerar a representação paramétrica g(t)=(t,f(t)) e aplicar a definição).

Exemplo: Campo vectorial e caminhos regulares simples que ligam o mesmo par de pontos com integrais de linha diferentes em caminhos diferentes (diz-se que este campo vectorial não é conservativo).

Definição: Diz-se que um campo vectorial é conservativo num conjunto S⊂ℝⁿ se todos os integrais de linha em caminhos seccionalmente C¹ simples com o mesmo par ordenado de pontos inicial e final que podem ser ligados por um caminho seccionalmente C¹ são iguais.

Exemplo: Um campo constante é conservativo.

43ª Aula - Revisão: definições de caminho e de curva em ℝn, e de integral de linha de campo escalar e de campo vectorial. Aplicações físicas de integrais de linha (densidades de massa e outras grandezas escalares, trabalho de forças). Exemplos concretos de caminhos e curvas de vários tipos.

10 maio 2018, 13:00 • Luis Magalhães

Revisão: Definições de caminho, curva e caminho ou curva regular, e de integrais de linha de campos escalares.

Observações:
(1) Curvas podem ser dadas por representações paramétricas, gráficos de funções, equações cartesianas ou por uma descrição geométrica.
(2) Se g:I→ℝⁿ é caminho regular, em cada ponto t∈I é g'(t)≠0 e este é um vector tangente à curva C=g(I) no ponto  g(t)∈C , no sentido correspondente a crescimento de t . Se g(t) dá a posição de um ponto em função de t , g'(t) é a velocidade e g''(t) é a aceleração, v=||g'(t)|| é a magnitude da velocidade. 

Notações alternativas para integrais de linha: 
(1) de campos escalares d : ∫_C d ds  (diz-se integral em relação ao comprimento de arco s ). 
(2) de campos vectoriais f=(f₁,...f_n) : ∫_C f₁(x₁,...,x_n) dx₁+ ⋯ + f_n(x₁,...,x_n) dx_n ; em ℝ²  ∫_C f₁(x,y) dx + f₂(x,y) dy ; em ℝ³  ∫_C f₁(x,y,z) dx + f₂(x,y,z) dy + f₃(x,y,z) dz .

Observações: A notação para integrais de campos escalares significa que é um integral sobre a curva C em relação ao comprimento de arco s. Para campos vectoriais significa que o ponto (x₁,...x_n) varia em C ; não confundir com integrais simples em relação a uma variável livre s num intervalo real e com uma soma de integrais simples com variáveis livres x_j em intervalos.

Aplicações de integrais de linha:
(1) campos escalares: se d é densidade de massa (carga eléctrica, etc.) por comprimento de filamento com configuração de curva C , a massa (carga eléctrica, etc.) total é M = ∫_C d , o centro de massa é (x₁,...,x_n) com x_j = ∫_C x_j d(x₁,...x_n)  ds , o momento de inércia em relação a uma recta r é  I_r = ∫_C δ²d , em que δ(x₁,...x_n) é a distância de (x₁,...x_n) à recta r . O centróide da curva C é como o centro de massa, com d=1 .
(2) campos vectoriais: se f é um campo de forças W = ∫ f.dg é o trabalho da força f no caminho g . 

Exemplos: 
(1) Representação paramétrica de uma mesma curva regular simples em ℝ² concreta por caminhos regulares simples, e por caminhos que não são regulares e são simples e caminhos que não são simples.
(2) Concatenação de curvas regulares simples concreta obtida a partir de caminhos definidos para cada curva no mesmo intervalo, com representação paramétrica por caminho seccionalmente regular, mas não regular.

Exercícios das fichas 7 e 9 (C)

9 maio 2018, 11:00 • Manuel Paulo de Oliveira Ricou

Ficha 7: 2 (d), 3, 4, 5 (a)

42ª Aula - Revisão: Definição de transformação de coordenadas, T. Mudança de Variáveis de Integração (TMVI). Relação iterativa para o volume de esferas n dimensionais. Fórmula para o volume de esfera n dimensional. T. de Sard simples e enfraquecimento das hipóteses para validade de mudança de variáveis de integração. Integral múltiplo de funções de subconjuntos de ℝn em ℂ . Espaços L1(S) e L2(S) são, resp., espaço linear normado e euclidiano completos. Motivação para curvas e integrais de linha. Noções de caminho e curva em ℝn e definições para tipos de caminhos e curvas (concatenação, Ck, regular, seccionalmente Ck, simples, fechado, fechado simples). Integrais de linha de campos escalares e vectoriais.

8 maio 2018, 11:30 • Luis Magalhães

Revisão: Definição: Transformação de coordenadas em T⊂ℝⁿ é função g:T→ℝⁿ, injectiva C¹ com derivada injectiva.

Teorema de mudança de variáveis de integração em ℝⁿ (TMVI): Se T⊂ℝⁿ é aberto, g é uma transformação de coordenadas em T , X⊂g(T) é mensurável e  (f∈L(X) ou (f∘g)|det Dg|∈L(g^-1(X))), então  ∫_Xf =∫_g^-1(X)(f∘g)|det Dg| .

Observação: O volume da esfera em ℝⁿ de raio 1 satisfaz  V_n(R) =(2π/n)V_n-2(1) .

Para n=2k par é V_2k(1) =π^k/(k!) pelo que o volume da esfera de raio 1 cresce de dimensão 1 a 5 e decresce para dimensões superiores, tendendo para 0 muito rapidamente. Para n∈ℕ é V_n(R) = [π^n/2/Γ(n/2+1)] Rⁿ. Como 2=V₁(1)=π^1/2/Γ(1/2+1)=π^1/2/[(1/2)Γ(1/2)] , obtém-se Γ(1/2)=π^1/2.

Observação: As mudanças de variáveis correspondentes a coordenadas polares, cilíndricas ou esféricas não são transformações de coordenadas em todo o espaço, mas sim no complementar de um conjunto de medida nula e como funções C¹ transformam conjuntos de medida nula em conjuntos de medida nula as correspondentes imagens também têm medida nula, pelo que estas mudanças de variáveis podem ser usadas em integração sem problemas apesar de não serem transformações de coordenadas em todo o espaço, mas pode-se ir um pouco mais longe.

Teorema de Sard simples: Se S⊂ℝⁿ e g:S→ℝⁿ é C¹, então g({x∈S: det Dg(x)=0}) tem medida nula.

Observações: 
(1) A dem. do T. de Sard é semelhante à feita com o T. de Lagrange para provar que funções g:S→ℝⁿ C¹ em S⊂ℝⁿ transformam conjuntos de medida nula em conjuntos de medida nula, tendo em consideração que det Dg(x)=0 ⇒ m = rank Dg(x) ≤ n-1, pelo que imagens de intervalos suficientemente pequenos centrados em x são conjuntos arbitrariamente próximos do plano-m que passa em g(x) paralelamente ao contradomínio de Dg(x) .
(2) A hipótese do TMVI pode ser enfraquecida para mudanças de variáveis g C¹ num conjunto T⊂ℝⁿ e injectiva q.t.p., em vez de exigir que g seja uma transformação de coordenadas, ou seja que adicionalmente T é aberto, e g e g' são injectivas em todo T .
(3) O T. de Sard é um resultado mais geral que tem aplicações para pontos críticos de funções e é um tópico de Teoria de Singularidades e Topologia Diferencial com aplicações a teoria de transversalidade, e estabilidade estrutural e bifurcações de sistemas dinâmicos e equações diferenciais. Simplificado para ℝⁿ é: Teorema de Sard (1942): Se S⊂ℝⁿ, g:S→ℝ^p é C^k, então: k>max{n-p,0} ⇒ o conjunto dos valores críticos C de g tem medida nula, em que C={g(x): x é ponto crítico de g , i.e. rank Dg(x)<p}. É um resultado interessente de balanço entre dimensão e diferenciabilidade.

Definição: Integral de f:S→ℂ com S⊂ℝⁿ é ∫_Sf=∫_S Re f + i ∫_S Im f .

Prova-se que que para f:S→ℂ com S⊂ℝⁿ, também f∈L(S) ⇒ |f|∈L(S) e |∫_Sf|≤∫_S|f| .
(Dem. Se f=u+iv com u,v com valores reais, |f|=(u²+v²)^1/2≤|u|+|v| ; logo, |f|∈L(S) . Com a representação polar de z=∫_Sf =re^it e w=e^-it para z≠0 , é |∫_Sf|=r=wz=w∫_Sf=∫_Swf=∫_SRe(wf)≤∫_S|wf|=∫_S|f| ).

Proposição: Se S⊂ℝⁿ é mensurável, então:
(1) O conjunto das funções integráveis em S identificadas se =s q.t.p. com ||f||₁=∫_S|f| é um espaço linear normado.
(2) O conjunto das funções com quadrado do módulo integrável em S identificadas se =s q.t.p. com <f,g>=∫_S f g é um espaço linear euclidiano (a norma é ||f||₂=∫_S|f|²) .
(Dem.: (1) é imediata das definições. Para (2) resta provar que |f|²,|g|²∈L(S) implica |f+g|²∈L(S) e f g∈L(S), que se obtém de |f±g|² = |f|²± f g ± g f + |g|² implicar |f+g|²+|f-g|²=2(|f|²+|g|²) e |fg|²=[ Re| f g | ]²+[ Im| f g | ]²=(1/8)(|f+g|²-|f-g|²) e do TCD).

Teorema de Riesz-Fisher: Se S⊂ℝⁿ é mensurável, então L¹(S) e L²(S) são espaços normados completos.
(Ideia de dem.: Se {f_j} é uma sucessão de Cauchy em L^p(S) com p=1,2,  aplicar TCM para séries a h=2^kp|g_k-g_k+1| com g_k=f_Nk, em que N_k é tal que i,j>k ⇒ ||f_i-f_j||<2^-(1+1/p)k para L^p(S) (N_k existe porque {f_j} é sucessão de Cauchy em L^p(S)) e observar que, em consequência, |g_k-g_k+j|≤2^1-kh^1/p e {g_k(x)} é uma sucessão de Cauchy em ℝ q.t.p.para  x em S , logo convergente para um número real que se designa f(x); |g_k-f|≤2^1-kh^1/p q.t.p.em S. Logo, ||g_k-f||≤2^(1-k)p|||h||₁ e com ||f_j-f||≤||f_j-g_k||+||g_k-f||≤2^-(1+1/p)k+2^(1-k)p|||h||₁ para j>N_k; logo ||f_j-f||→0).

CURVAS E INTEGRAIS DE LINHA:

Definições:
(1) Caminho em S⊂ℝⁿ  é função g:I→ℝⁿ contínua, com I⊂ℝ intervalo) e curva (linha ou arco) em S (C=g(I) para algum caminho); representação paramétrica de curva, concatenação de caminhos, caminho C^k, caminho regular (C¹ com derivada ≠0), caminho seccionalmente C^k, caminho seccionalmente regular (concatenação de caminhos, resp., C^k ou regulares); simples ponto inicial e ponto final de caminho definido num intervalo compacto; caminho fechado, caminho simples.
(2) Termos análogos para curva se existe pelo menos uma representação paramétrica da curva por caminho com a respectiva propriedade (mesmo existindo representações paramétricas sem a propriedade).

Definições: Se C⊂ℝⁿ é uma curva representada por um caminho g:I→ℝⁿ, define-se:
(1) integral de linha um campo escalar d definido em C por ∫_Cd=∫_I (d∘g) ||g'|| ;
(2) integral de linha de um campo vectorial f definido em C por  ∫ f.dg=∫_I (f∘g).g', 
quando os integrais simples no lado direito existem 

Observação: Se g'≠0 q.t.p. em I, ∫_I (f∘g).g'  é o integral do campo escalar que é a projecção de f∘g sobre o vector tangente g' em cada ponto.