Sumários
6ª Aula - Continuidade de transformações lineares. Definição de funções polinomiais de várias variáveis reais.Continuidade de somas, produtos (incluindo produto interno e externo) e quocientes por campos escalares em pontos em que denominador não é nulo. Caracterização topológica de continuidade, preimagens de subconjuntos de espaços de chegada de funções, conjuntos abertos e fechados relativamente a um conjunto que os contém.
27 fevereiro 2018, 11:30 • Luis Magalhães
Proposição: Toda transformação linear de ℝn em ℝm é contínua em ℝn (Dem. majoração de ||f(x)-f(a)|| a partir de representação matricial de f nas bases canónicas).
Exemplos: Determinação de continuidade em exemplos concretos de campos escalares e vectoriais que são transformações linearesProposições:
(1) Somas, produtos e quocientes de campos escalares contínuos num ponto a (no caso de quocientes com denominador ≠0 em a) são contínuos em a ;
(2) Somas, produtos por escalares, produtos internos e produtos externos de campos vectoriais com valores em ℝm contínuos num ponto a (no caso do produto externo com m=3) são contínuos em a .
Exemplos: Continuidade de campos escalares concretos em ℝn, incluindo definição e continuidade de polinómios em n variáveis reais.
Revisão: Somas, produtos (inclusivamente interno e externo), quocientes por campos escalares em pontos em que o denominador é ≠0 ou composições de funções contínuas são funções contínuas.
Proposição: Composições fog de campos escalares ou vectoriais g contínuo num ponto a e f contínuo em g(a) são contínuos em a .
Exemplos: Determinação de domínio, conjunto de pontos de continuidade e conjunto máximo de extensão por continuidade de campos escalares ou vectoriais, com aplicação das propriedades de continuidade com operações. Exemplos de funções que sobre todas as rectas que passam num ponto de acumulação do domínio convergem para um mesmo valor, mas sem limite no ponto.
Caracterização topológica de continuidade de f:D→ℝm, com D⊂ℝn.
Ilustração gráfica da ideia,
Definições:
(1) Preimagem ou imagem inversa de conjunto A⊂ℝm por f é f-1(A)={x∈D: f(x)∈A} ;
(2) Diz-se que S⊂D⊂ℝn é aberto (resp. fechado) relativamente a D se existe um conjunto aberto (resp. fechado) U⊂ℝn tal que S=U∩D.
Proposição: f:D→ℝm com D⊂ℝn é contínua se e só se preimagens de subconjuntos abertos de ℝm são conjuntos abertos relativamente a D.
Observações:
(1) Este resultado é uma caracterização topológica de continuidade. Pode ser adoptada para estender a definição de funções contínuas a espaços topológicos não métricos.
(2) O resultado pode ser aplicado para determinação de conjuntos abertos ou fechados com base em funções contínuas.
(3) Uma função pode não ser invertível, mas existem sempre preimagens dos subconjuntos do resp. espaço de chegada. Uma função é invertível se e só se as preimagens de subconjuntos singulares do espaço de chegada não vazias são subconjuntos singulares do domínio.
5ª Aula - Estratégias para determinar existência e valor de limites de campos escalares. Exemplos sobre existência e cálculo de valor de limites. Exemplos de determinação do domínio de funções por expressões com valores em ℝm e variáveis em ℝn. Limites iterados. Determinação de limites com coordenadas polares.
26 fevereiro 2018, 11:30 • Luis Magalhães
3 estratégias para limites de campos escalares, f:D→ℝ, D⊂ℝn, a∈D':
(1) se f é contínua em a , limaf=f(a) ;
(2) para provar limx→af(x)=b , majorar |f(x)-b|≤g(x) com limag=0 ;
(3) para provar que limaf não existe basta encontrar 1 modo de aproximação de a no domínio para que limite não exista ou 2 modos para que convirja para valores diferentes;
limx→af(x)=b reduz-se a limite em 0 ser 0 por limy→0[f(y+a)-b]=0 (translação da origem de coordenadas no domínio e no espaço de chegada);
Observação: em fracções de funções polinomiais ou que envolvam raizes de termos polinomiais em várias variáveis, comparar ordens de convergência para conjecturar uma das alternativas; se o denominador é uma soma de termos de graus diferentes há que analisar com cuidado ordens de convergência para conjecturar convergência ou divergência).
Exemplos: Existência e inexistência de limite e cálculo de limite de campos escalares em ℝ2 e de determinação de domínio de funções reais de várias variáveis.
Limites iterados: se diferentes não há limite, se iguais é inconclusivo.
Exemplos com limites iterados.
Exemplo de utilidade de coordenadas polares na determinação de limites.
Exercícios da ficha 2
26 fevereiro 2018, 10:00 • Manuel Paulo de Oliveira Ricou
Exercícios 1, 2, 3
Exercícios da ficha 2
23 fevereiro 2018, 12:30 • Manuel Paulo de Oliveira Ricou
Exercícios 1 (a), (c), 2 (a), (c), (d), (e), (f)