18ª Aula - Exemplo de determinação de extremos e de linhas de nível de campo correspondente à energia de um sistema mecânico conservativo. Exemplo de campo em ℝ2 com matriz hessiana semidefinida positiva e com mínimo relativo estrito no ponto na direcção própria associada ao vector próprio nulo, mas com sela nesse ponto.   Revisão de Fórmula de Taylor de ordem k para campos escalares f de 2 variáveis reais no ponto 0 e utilização do Triângulo de Pascal.

20 março 2018, 11:30 • Luis Magalhães

Exemplos de determinação e classificação de pontos de estacionaridade em casos concretos de campos escalares em ℝ²:

(1) Um campo correspondente à energia de um sistema mecânico conservativo com dois pontos de equilíbrio, com energia que tem um ponto de mínimo relativo (estável) e outro de sela (instável).

(2) Um campo com ponto de estacionaridade em que a matriz hessiana é semidefinida positiva (teste de 2ª ordem para extremo iinconclusivo)., logo tem um mínimo relativo estrito no ponto e na direcção própria do valor próprio nulo também tem um mínimo relativo estrito, mas o ponto é de sela.

(3) Um campo com pontos em que não é diferenciável, pelo que para identificar extremos não basta considerar os pontos de estacionaridade, pelo que é preciso estudar a função na vizinhança de pontos em que não é diferenciável (tal como em pontos na fronteira do domínio).

Revisão:

(1) Fórmula de Taylor de ordem k para campos escalares f:D→ℝ C^k, D⊂ℝ² aberto, no ponto 0∈D
     (k=1): f(x,y) = f(0) + D₁f(0)x + D₂f(0)y + ||(x,y)|| E₁(0,(x,y)) ;
     (k=2): f(x,y) = f(0) + D₁f(0)x + D₂f(0)y + (1/2) [ D₁₁f(0) x² + 2D₁₂f(0) xy + D₂₂f(0) y² ] + ||(x,y)||² E₂(0,(x,y)) ;
     (k=3): f(x,y)= f(0) + D₁f(0)x + D₂f(0)y + (1/2) [ D₁₁f(0) x² + 2D₁₂f(0) xy + D₂₂f(0) y² ] + (1/3!) [ D₁₁₁f(0) x³ + 3D₁₁₂f(0) x²y + 3D₁₂₂f(0) xy² + D₂₂₂f(0) y³ ] + ||(x,y)||³ E₂(0,(x,y)) ;
               ...     
(os coeficientes podem ser obtidos do triângulo de Pascal como para os coeficientes do binómio de Newton).

17ª Aula - Revisão: Fórmula de Taylor de 2ª ordem para campos escalares. Condições com derivadas parciais de 2ª ordem para classificação de pontos de estacionaridade de campos escalares C2; para funções de 2 variáveis também em termos de determinante e traço da matriz hessiana. Exemplo de aplicação num caso concreto de campo escalar em ℝ2.

19 março 2018, 11:30 • Luis Magalhães

Revisão: Fórmula de Taylor de ordem 2 para campos escalares ou vectoriais C^k.

Definição: Matriz hessiana de campo escalar f em ponto a onde existem todas as derivadas de 2ª ordem: H_f(a)=[D_ijf(a)]_i,j=1^n,n.

Fórmula de Taylor de 2ª ordem para campos escalares: .Se f:D→ℝ, D⊂ℝⁿ, f é C³ em B_R(a)⊂D, h∈ℝⁿ, ||h||<R  (estabelecida a partir da fórmula com resto de Lagrange usando C³, com o T. de Weierstrass, mas também válida se f é C²) , então

f(a+h) - f(a) = Df(a)h + (1/2) h^t H_f(a) h + ||h||²E₂(a,h) , com E₂(a,h)→0 quando h→0 .

Proposição: Para que um ponto de estacionaridade a de um campo escalar C² numa bola aberta centrada em a ser ponto de mínimo relativo, máximo relativo, sela é suficiente que a matriz hessiana, que devido ao Lema de Schwarz é simétrica por f ser C², seja, resp., definida positiva, definida negativa, indefinida (dem.: se H_f(a) é definida positiva aplicação da Fórmula de Taylor de 2ª ordem e do T. de Weierstrass aos termos de 2ª ordem sobre o conjunto dos vectores de norma 1; se H_f(a) é definida negativa, aplicar anterior a -f ; se H_f(a) é indefinida, ∃h₁,h₂≠0 com h₁^tH_f(a)h₁>0 e h₂^tH_f(a)h₂<0 e o mesmo argumento garante que para h₁,h₂ suficientemente pequenos f(a+h)-f(a) é >0 e <0 para (resp.) h igual a h₁ e h₂ ).

Observação: Com as mesmas hipóteses, se a matriz hessiana é semidefinida positiva ou negativa, o teste de 2ª ordem para classificação de pontos de estacionaridade é inconclusivo (no 1º caso poderia ser ponto de mínimo ou de sela, e no 2º caso ponto de máximo ou de sela); para tentar classificar é preciso estudar com mais detalhe a função na vizinhança do ponto (o que pode ou não recorrer a derivadas de ordem superior).

Revisão de Álgebra Linear: Condições para classificar formas quadráticas em (semi)definidas positivas ou negativas, ou indefinidas com base em valores próprios, menores de matrizes (determinantes de submatrizes) ou pivots de eliminação de Gauss.

Classificação de ponto de estacionaridade a de campos escalares C² de 2 variáveis reais, em termos de determinante e traço da matriz hessiana no ponto: (1) det H_f(a)>0 e tra H_f(a)>0 ⇒ min. relativo em a ; (2) det H_f(a)>0 e tra H_f(a)<0 ⇒ max. relativo em a ; (3) det H_f(a)<0 ⇒ sela em a ; (1) det H_f(a)=0 inconclusivo (poderia ser ponto de máximo, mínimo ou sela). (dem.: det H_f(a) é o produto e tra H_f(a) é a soma dos valores próprios, repetidos de acordo com multiplicidade algébrica; logo, são >0 em (1) , <0 em (2) , um >0 e outro <0 em (3) , e pelo menos um 0 em (4) ).

Exemplo: Determinação de pontos de extremo ou sela num caso concreto de campo escalar em ℝ ².

Exercícios da ficha 5

19 março 2018, 10:00 • Manuel Paulo de Oliveira Ricou

Ficha 5: 1 (a), 3, 4 (e), (h)

Exercícios da ficha 6

16 março 2018, 12:30 • Manuel Paulo de Oliveira Ricou

Ficha 5C: 4

16ª Aula - Revisão: T. de Weierstrass para campos escalares e necessidade de ser ponto de estacionaridade para existência de extremo num ponto de diferenciabilidade. Exemplos de aplicação de T. Weierstrass na determinação de extremos absolutos e relativos de campos escalares, determinação de extremos na fronteira do domínio, e de continuum de pontos de sela ou de extremos. Rrevisão de funções de 1 variável: Fórmula de Taylor de ordem k para funções reais de variável real e aplicação a obter condições suficientes para máximo ou mínimo relativos com base na 2ª derivada. Fórmula de Taylor de ordem k para campos escalares, e particularização para 2ª ordem com matriz hessiana. Relação de condição suficiente para ponto de estacionaridade ser de max. (resp., min.) se a matriz hessiana é definida negativa (resp., positiva).

16 março 2018, 11:30 • Luis Magalhães

Revisão: T. de Weierstrass para campos escalares, condição necessária (mas não suficiente) para extremo de campo escalar em ponto de diferenciabilidade (ser ponto de estacionaridade: ∇f(a)=0 ) . Os extremos relativos de campos diferenciáveis num conjunto D não aberto podem ser em pontos interiores de estacionaridade ou em pontos da fronteira.

Exemplos: Aplicação do Teorema de Weierstrass na determinação de extremos de campos escalares, e determinação de extremos em pontos da fronteira do domínio de campos escalares. Exemplos de campos escalares com um continuum de pontos de sela ou de pontos de extremo e de campos escalares sem extremos e com pontos de sela.

Revisão de funções reais de variável real: 
(1) Fórmula de Taylor de ordem k (k∈ℕ) na vizinhança de 0 para função real de variável real g:I→ℝ, com I⊂ℝ intervalo aberto, 0∈I e g com derivada k+1 em I, com resto de Lagrange: g(t)=Σ^k_j=0 (1/j!) g^(j)(0) t^j + (1/(k+1)!) g^(k+1)(t*) t^k+1, para algum t* entre 0 e t , para |t| suficientemente pequeno.
(2) Aplicação da Fórmula de Taylor de 2ª ordem para função real de variável real g:I→ℝ, com I⊂ℝ intervalo e g diferenciável em int I , para obter condições suficientes de máximo relativo (g'(c)<0) ou mínimo relativo (g'(c)>0) em ponto de estacionaridade c∈int I (g'(c)=0) . Exemplos de que se g''(c)=g'(c)=0 com análise de 2ª ordem nada se pode concluir, pois c pode ser ponto de máximo, mínimo ou inflexão (neste caso é preciso estudar mais aprofundadamente a funções, incluindo a possibilidade de utilizar Fórmula de Taylor de ordem superior, mas não necessariamente. Motivação para consideração de testes de 2ª ordem para obter condições suficientes de classificação de extremos de campos escalares.

Fórmula de Taylor de ordem k para campos escalares: Se f:D→ℝ, D⊂ℝⁿ, f é C^k+1 em B_R(a)⊂D , h=(h₁, ... , h_n)∈ℝⁿ, ||h||<R , com R>0 , então
f(a+h) = Σ^k_j=0 (1/j!) Σ^k _{(i1,...,ij)∈{1,...,n}^j}  D_i1,...,ij f(a) h_i1···h_ij + ||h||^kE_k(a,h) , com E_k(a,h)→0 quando h→0 .
(dem.: fórmula de Taylor de ordem k para a função real de variável real g(t)=f(a+th) na vizinhança de 0 com resto de Lagrange, e prova de E_k(a,h)→0 quando h→0 usando Teorema de Weierstrass para majorar os módulos das derivadas parciais de ordem k+1).

Observação: É possível enfraquecer a hipótese para f C^k, mas não se prova aqui.

Definição: Matriz hessiana de campo escalar f em ponto a onde existem todas as derivadas de 2ª ordem: H_f(a)=[D_ijf(a)]_i,j=1^n,n.

Fórmula de Taylor de 2ª ordem para campos escalares: .Se f:D→ℝ, D⊂ℝⁿ, f é C³ em B_R(a)⊂D, h∈ℝⁿ, ||h||<R  (foi estabelecida com resto de Lagrange usando C³ mas também válida se f é C²) , então f(a+h) - f(a) = Df(a)h + (1/2) h^t H_f(a) h + ||h||²E₂(a,h) , com E₂(a,h)→0 quando h→0 .

Observação: Como para 1 variável real, num ponto de estacionaridade a de f o termo linear é nulo, e se o termo quadrático é >0 (resp., <0) para todo h≠0 , como para h suficientemente pequeno este termo domina o termo de erro, f tem um mínimo (resp. máximo) relativo em a .