4ª Aula - Campos escalares e campos vectoriais em ℝn e representações gráficas de campos escalares. Exemplos de representações geométricas de campos escalares por gráficos e conjuntos de nível; utilidade de simetrias e cortes. Definição de limite de campos escalares e vectoriais e redução do 2º ao 1º. Funções contínuas em pontos e em conjuntos. Caracterização de limites e continuidade de funções por limites de sucessões. Indicação da dificuldade que surge relativamente a limites de funções escalares de mais de 1 variável em comparação com 1 variável.

23 fevereiro 2018, 11:30 • Luis Magalhães

Definições: (1) Campos escalares e campos vectoriais em ℝⁿ. (2) Gráficos e conjuntos de nível de funções.

Exemplos: Representações gráficas de campos escalares em ℝ² por gráficos, por conjuntos de nível, considerando cortes de gráficos.

Observação: Nos exemplos ilustrou-se a utilidade de perspectivas, simetrias (em relação à origem, em relação aos eixos coordenados, ou circular - dando superfícies de revolução em torno de um eixo), cortes de gráficos e conjuntos de nível de funções para descrever geometricamente gráficos de campos escalares.

Definição: Limite de campo escalar ou vectorial f:D→ℝ^m, com D⊂ℝⁿ, num ponto a de acumulação do domínio D : lim_x→af(x)=b (ou lim_af=b) se ∀_ε>0∃_δ>0 f((B_δ(a)\{a})∩D)⊂B_ε(b) . 
(mesmo que (a) ∀_ε>0∃_δ>0 x∈B_δ(a) e x≠a e x∈D ⇒ f(x)∈B_ε(b) , ou (b) ∀_ε>0∃_δ>0 0<||x-a||<δ e x∈D ⇒ ||f(x)-b||<ε ).

Observações: 
(1) A definição é a mesma que para funções de ℝ em ℝ apenas substituindo intervalos de vizinhança de pontos em ℝ por bolas abertas centradas nos correspondentes pontos em ℝⁿ e ℝⁿ).
(2) Na definição é essencial considerar explicitamente que o ponto  a é de acumulação do domínio (caso contrário não se estaria a definir nada porque a implicação seria sempre verdadeira, pois ∅⊂S para todo conjunto S). 

Proposições: Seja f:D→ℝ^m, com D⊂ℝⁿ e a ∈D, f=(f₁, ... ,f_m) . 
(1)  lim_x→af(x)=b ⇔ lim_x→a||f(x)-b||=0 (limite de campo escalar) (Dem. Imediata da 3ª expressão para a definição).
(2) lim_x→af(x)=b=(b₁, ..., b_m) ⇔ lim_x→af_j(x)=b_j , j=1, ...,m (Dem. Imediata de ||f(x)-b||_∞≤||f(x)-b||≤m||f(x)-b||_∞).

Observação: Limites de campos vectoriais reduzem-se a limites de campos escalares.

Proposição: Seja  f:D→ℝ^m, D⊂ℝⁿ, a∈D'. lim_x→af(x)=b ⇔ f(a_k) → f(a) para toda sucessão {a_k}⊂D tal que a_k→a .

Definições: Um campo escalar ou vectorial f:D→ℝ^m, com D⊂ℝⁿ, é contínuo em a∈D' se lim_x→af(x)=f(a) e considera-se contínuo em pontos isolados de D ;  é contínuo em S⊂D se é contínuo em todo  a∈S .
(a continuidade de f em a∈D é equivalente a: (a)  ∀_ε>0∃_δ>0 f(B_δ(a)∩D)⊂B_ε(f(a)) , ou (b) ∀_ε>0∃_δ>0 x∈B_δ(a)∩D ⇒ f(x)∈B_ε(f(a)) , ou (c) ∀_ε>0∃_δ>0 ||x-a||<δ e x∈D ⇒ ||f(x)-f(a)||<ε ).

Proposição: Um campo vectorial é contínuo num ponto se e só se os campos escalares componentes são contínuos nesse ponto.

Proposição: Se D⊂ℝⁿ, a∈D, f:D→ℝ^m, f=(f₁, ... ,f_m) , então f é contínua em a ⇔  f(a_k) → f(a) para toda sucessão {a_k}⊂D tal que a_k→a .

Observação: Domínio de funções especificadas por expressões com valores em ℝ^m e variáveis em ℝⁿ (o maior subconjunto de ℝⁿ em que a expressão dá valores em ℝ^m, a mesma ideia de para funções reais de variável real).

Exemplo de campo escalar f definido em ℝ² cujas restrições a qualquer recta de ℝ² que passa na origem têm limite 0 na origem e tal que f não tem limite na origem.

Observação: A única dificuldade que surge na consideração de várias variáveis nas noções de limite e continuidade em comparação com 1 variável resulta de perder-se a relação de ordem compatível com as operações de ℝ e, portanto, em vez de considerar o comportamento dos valores da função quando se aproxima o ponto pela direita ou esquerda tem de se considerar todas as maneiras de aproximação numa vizinhança do ponto. Essa dificuldade surge de 1 para 2 variáveis; um nº maior de variáveis tem a mesma dificuldade.

3ª Aula - Revisão dos aspectos principais da aula anterior. Relações entre normas 1, 2 ∞ em ℝn. Normas equivalentes. Observações sobre normas p>=1 em ℝn, distância e espaço métrico, consideração de noções topológicas em espaços euclidianos, normados, métricos, topológicos, Lei do Paralelogramo necessária e suficiente para espaço normado ser euclidiano. Sucessões e limites de sucessões em ℝn. Relações de limites de sucessões num conjunto com propriedades topológicas do conjunto.

22 fevereiro 2018, 13:00 • Luis Magalhães

Revisão dos aspectos principais da aula anterior.

Verificação geométrica em ℝ² que B¹_R(a)⊂B²_R(a)⊂B^∞_R(a) (que corresponde a ||x||_∞≤||x||₂ ≤||x||₁) , e B^∞_R(a)⊂B¹_2R(a)  (que corresponde a ||x||₁≤2|x||_∞).

Proposição: ||x||_∞≤||x||₂ ≤||x||₁≤n||x||_∞, para x∈ℝⁿ; logo, B¹_R(a)⊂B²_R(a)⊂B^∞_R(a)⊂B¹_nR(a) .

Definição de normas equivalentes.

Proposição: As noções de interior, exterior, fronteira, fecho, ponto de acumulação, conjunto aberto, conjunto fechado são invariantes sob normas equivalentes. 

Observações: 
(1) As 3 normas em ℝⁿconsideradas acima são equivalentes. 
(2) ||x||_p=(|x₁|^p+ ... +|x_n|^p)^1/p, para x=(x₁, ... ,x_n)∈ℝⁿ, com p∈[1,+∞[, é norma em ℝⁿ, ||x||_∞≤||x||_q≤||x||_p para x∈ℝⁿ,1≤p<q , e a distância associada é d_p(x,y)=(|x₁-y₁|^p+ ... +|x_n-y_n|^p)^1/p, mas não é norma para p∈]0,1[ (não satisfaz a desigualdade triangular). As normas ||x||_p , p≥1 são equivalentes. (Pode-se provar que num espaço linear de dimensão finita todas as normas são equivalentes)
(3) Definição: distância num conjunto X≠∅ é d:X²→[0,+∞[ tal que: 
       (i) d(x,y)=d(y,x) ∀x,y∈X ; 
      (ii) d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z) ∀x,y,z∈X ; 
     (iii) d(x,y)>0⇔x≠y ∀x,y∈X . 
Um X≠∅ com uma distância d chama-se espaço métrico.
(4) (d_p)^p para p∈]0,1[ é distância em ℝⁿ, embora não haja qualquer norma compatível com esta distância.
(5) Representação gráfica de bolas abertas nas normas ||x||_p, x∈ℝⁿ, p∈[1,+∞[ , p∈ℝ, e nas distâncias (d_p)^p em ℝⁿ. 
(6) {espaços euclidianos} ⫋ {espaços normados} ⫋ {espaços métricos} ⫋ {espaços topológicos}. Há aplicações em que convém considerar um espaço de um destes tipos que não é do tipo anterior.
(7) Uma norma ||x|| num espaço linear V é euclidiana (i.e. compatível com um produto interno) se e só se para paralelogramos a soma dos quadrados dos comprimentos das diagonais são iguais às somas dos quadrados dos comprimentos dos lados (i.e ||x+y||²+||x-y||²=2||x||²+2||y||² ∀x,y∈V) (Lei do Paralelogramo). A necessidade é imediata da definição de produto interno a suficiência dá mais trabalho a demonstrar. ||x||_p é norma euclidiana ⇔ p=2. 

Definições: (1) sucessões em D⊂ℝⁿ (funções de ℕ em D); (2) limite de sucessão {u_m} em ℝⁿ: lim u_m=a se ||u_m-a||→0 (equivalente a ∀_ε>0∃_N∈ℕm>N ⇒||u_m-a|| <ε ).

Proposição: Convergência de sucessão em ℝⁿ para ponto a ⇔ convergência das sucessões correspondentes das componentes em ℝ para o valor da respectiva componente de a (Dem.: Imediata de ||x||_∞≤||x||₂≤n||x||_∞).

Exemplo: Caso concreto de sucessão e cálculo de limite de sucessão em ℝ³ a partir das sucessões componentes em ℝ.

Perguntas:
(1) Conjunto dos pontos que podem ser limite de sucessão em D⊂ℝⁿ? (R.: o fecho de D ); 
(2) Conjuntos D⊂ℝⁿ tais que limites de sucessões em D convergentes pertencem a D? (R.: D fechados) ;
(3) Conjunto dos pontos que podem ser limite de sucessão em D⊂ℝⁿ e não são termos da sucessão? (R.: D') ;
(4) Conjuntos D⊂ℝⁿ para que não há sucessões em D sem termos repetidos convergentes? (R.: conjuntos sem pontos de acumulação, i.e., conjuntos de pontos isolados).

Ficha de trabalho 2

21 fevereiro 2018, 11:00 • Manuel Paulo de Oliveira Ricou

Título da ficha: "Topologia. Limites. Continuidade"

2ª Aula - Revisão dos aspectos principais da aula anterior. Continuação de noções topológicas em ℝn. Normas em espaços lineares. Exemplos de normas ||x||∞, ||x||2, ||x||1 em  ℝ2 e ℝn, de bolas abertas correspondentes e de relações entre elas

20 fevereiro 2018, 11:30 • Luis Magalhães

Revisão dos aspectos principais da aula anterior.

Proposição: B_r(a)⊂ℝⁿ, com r>0, é conjunto aberto.

Exemplo: Segmento de recta de comprimento 1 sem as extremidades, em ℝ,ℝ²,ℝ³, resp., ]0,1[, ]0,1[x{0}, ]0,1[x{0}², é, resp. aberto, nem aberto nem fechado, nem aberto nem fechado, e tem interior, resp., ]0,1[, ∅, ∅ (noções topológicas dependem do espaço em que se considera o conjunto).

Definição: Ponto isolado de D⊂ℝⁿ (∃_R>0B_R(a)∩D={a}), ponto de acumulação de D (∀_R>0(B_R(a)\{a})∩D≠∅). D'=conjunto dos pontos de acumulação de D.  

Proposição: Se D⊂ℝⁿ, D\D'=conjunto dos pontos isolados de D (se a∈D, a não é ponto isolado de D ⇔ a∈D'). 

Proposição: Se D⊂ℝⁿ, então: (1) D'⊂D; (2) (D)'=D'; (3) D\D'=D\D'⊂∂D.

Proposição: Se D⊂ℝⁿ é finito e D≠∅, então D'=∅≠D=D=∂D (todos os pontos de D são isolados).

Proposição: Se D⊂ℝⁿ, então: 
(1) a∈D'⇔ ∀_R>0B_R(a)∩D é infinito; 
(2) a∈D'⇔ a∈D\{a};
(3) D=D∪D'=∂D∪D'.

Exemplos: 

(1) em ℝ: {1/n:n∈ℕ}, ℕ, ℚ, ℝ\ℚ; 

(2)   {(x,y)∈ℝ²: x²+y²=1/n, n∈ℕ} .

Observação: As noções consideradas aplicam-se também com normas diferentes da associada ao produto interno canónico, o que é útil no estudo de funções de mais de uma variável. 

Definição: Norma num espaço linear V é uma função v||v|| de V em [0,+∞[ tal que: (1) ||cv||=|c|||v||, (2) ||u+v||≤||u||+||v||, (3) ||v||=0 ⇔ v=0 . A um espaço linear com uma norma chama-se espaço normado.

Observação: Todo espaço euclidiano (i.e. com um produto interno) é espaço normado com a norma associada a esse produto interno, mas há espaços normados que não são euclidianos (e.g. ℝⁿ com a 1ª e a 3ª normas que se seguem).

Definições: normas ||x||₁=Σ_j|x_j| , ||x||₂=||x||=(Σ_j|x_j|²)^1/2, ||x||_∞=max_j|x_j|, para x=(x₁,...,x_n)∈ℝⁿ.  

Exemplo: Descrição geométrica de bolas em ℝ² nas 3 normas e verificação geométrica que B¹_R(a)⊂B²_R(a)⊂B^∞_R(a) (que corresponde a ||x||_∞≤||x||₂ ≤||x||₁) , e B^∞_R(a)⊂B¹_2R(a)  (que corresponde a ||x||₁≤2|x||_∞).

1ª Aula - Apresentação da disciplina. Noções topológicas em ℝn

19 fevereiro 2018, 11:30 • Luis Magalhães

Apresentação da disciplina.

Definições: 
(1) bola aberta de centro em a∈ℝⁿ e raio r>0 é B_r(a)={x∈ℝⁿ: d(x,a)<r} em ℝⁿ, em que d(x,a) é a distância entre os pontos x,a; dada uma norma em ℝⁿ d(x,a)=||x-a|| (usualmente considera-se a norma definida pelo produto interno canónico ||(x₁,...x_n)||=[(x₁)²,...,(x_n)²]^1/2, mas pode-se considerar outras normas ou distâncias); 
(2) a∈ℝⁿ é ponto interior de D⊂ℝⁿ se ∃ B_r(a)⊂D ; 
(3) a∈ℝⁿ é ponto exterior de D⊂ℝⁿ se é ponto interior de ℝⁿ\D ; 
(4) a∈ℝⁿ é ponto fronteiro de D⊂ℝⁿ se não é ponto interior nem ponto exterior de D ; 
(5) conjunto interior, exterior, fronteiro de D⊂ℝⁿ é o conjunto dos pontos, resp., interiores, exteriores, fronteiros de D; é designado, resp., int D, ext D, ∂D.

Proposição: Seja D⊂ℝⁿ. 
int D={x∈ℝⁿ: ∃_r>0: B_r(x)⊂D},  
ext D={x∈ℝⁿ: ∃_r>0: B_r(x)⊂ℝⁿ\D}, 
∂D={x∈ℝⁿ: ∀_r>0: B_r(x)∩D≠∅, B_r(x)∩(ℝⁿ\D)≠∅} .

Proposições: Seja D⊂ℝⁿ. 
(1) {int D, ∂D, ext D} é uma partição de ℝⁿ; 
(2) int ℝⁿ\D=ext D, ext ℝⁿ\D=int D .

Definições: 
(1) fecho de D⊂ℝⁿ é  D=(int D)∪∂D ; 
(2) D⊂ℝⁿ é conjunto aberto se D=int D; 
(3) D⊂ℝⁿ é conjunto fechado se D=D .  

Proposição: Seja D⊂ℝⁿ.  D={x∈ℝⁿ: B_r(x)∩D≠∅ ∀ r>0}.

Proposição: Seja D⊂ℝⁿ. D é fechado ⇔ ℝⁿ\D é aberto; D é aberto ⇔ ℝⁿ\D é fechado.

Exemplos: Determinação de int D, ext D, ∂D, D, e identificação de conjuntos abertos, conjuntos fechados, e conjuntos nem abertos nem fechados em exemplos concretos com D⊂ℝ², e que os únicos subconjuntos de ℝⁿ abertos e fechados são ℝⁿ e ∅ .

Proposição: Seja D⊂ℝⁿ. int D⊂D, ext D⊂ℝⁿ\D .

Proposições: 
(1) Para D⊂ℝⁿ, int D e ext D são  abertos, ∂D e D são fechados; 
(2) Para D⊂ℝⁿ, int D é o maior aberto contido em D, ext D é o maior aberto contido em ℝⁿ\D,  D é o menor fechado que contém D. ; 
(4) Uniões (numeráveis ou não) de subconjuntos abertos de ℝⁿ, são conjuntos abertos, intersecções (numeráveis ou não) de subconjuntos fechados de ℝⁿ, são conjuntos fechados; 
(5) Intersecções finitas de subconjuntos abertos de ℝⁿ são conjuntos abertos, uniões finitas de subconjuntos fechados de ℝⁿ, são conjuntos fechados.

Contraexemplos: Infinitos conjuntos abertos com intersecções de cada um dos casos: (a) conjunto fechado,  (b) conjunto aberto, (c) conjunto nem aberto nem fechado. E analogamente para uniões de Infinitos conjuntos fechados.