24ª Aula - Revisão do enunciado do T. de Fubini para funções integráveis à Riemann, e do integral de Riemann de f≥0 num intervalo limitado I⊂ℝn em que f é integrável à Riemann ser o volume ((n+1)-dimensional) do conjunto de ordenadas de f . Exemplos de cálculo de integrais múltiplos de funções concretas por integrais simples iterados em várias ordens, supondo que os integrais múltiplos existem e a validade do T. de Fubini. Prova do T. de Fubini para integrais de Riemann de funções limitadas em intervalos limitados. Critério de integrabilidade à Riemann por enquadramento da função entre funções em escada com integral da diferença arbitrariamente pequeno.

6 abril 2018, 11:30 • Luis Magalhães

Revisão: Enunciado do T. de Fubini para funções integráveis à Riemann. Integral de Riemann de f≥0 limitada num intervalo limitado I⊂ℝⁿ em que f é integrável à Riemann é o volume ((n+1)-dimensional) do conjunto de ordenadas de f .

Exemplos: Cálculo de integrais múltiplos de funções integráveis à Riemann concretas por integrais simples iterados supondo que os integrais múltiplos existem e a validade do T. de Fubini, troca de ordem de integração em integrais múltiplos, escolha de ordenação de integrais iterados para facilitar o cálculo, exemplo de função com integral duplo que se pode calcular em termos de funções elementares do cálculo por integrais iterados numa ordem e não na outra.

Prova do T. de Fubini para funções limitadas integráveis à Riemann em intervalos limitados. 

Proposição (critério de integrabilidade à Riemann por enquadramento entre funções em escada): Se f:I→ℝ é limitada e I⊂ℝⁿ é um intervalo limitado. então f é integrável à Riemann em I se e só se ∀_ε>0 existem funções em escada s,t em I tais que s≤f≤t e ∫_I(t-s)<ε . (Dem.: Imediata da definição de função integrável à Riemann).

23ª Aula - Revisão: definições de integral múltiplo de Riemann de função limitada em intervalo limitado de ℝn. Definição de volume-n de subconjunto de ℝn em termos de integral de Riemann, e ilustrações geométricas. Ideia geométrica de cálculo de volumes de sólidos em ℝ3 por integrais simples de áreas de secções planas. Enunciado do T. de Fubini para funções limitadas integráveis à Riemann em intervalos limitados de ℝn e observações sobre aplicação. Referências históricas sobre T. de Fubini. Definição de conjunto de ordenadas de função e relação do seu volume com o integral da função. Exemplo de cálculo de integrais duplos de funções concretas por integrais simples iterados supondo que o integral duplo existe.

5 abril 2018, 13:00 • Luis Magalhães

Revisão: Definição de integral (múltiplo) de Riemann de campo escalar f limitado num intervalo limitado de ℝⁿ (igualdade dos integrais inferior e superior, que são resp. supremo e ínfimo dos integrais das funções em escada por baixo e por cima de f ). Exactamente como definição para integrais simples apenas substituindo intervalos reais por intervalos em ℝⁿ. Os integrais múltiplos incluem os integrais simples no caso n=1 .

Definição: Chama-se volume (n-dimensional) de um conjunto limitado S⊂ℝⁿ a vol_n(S)=∫_S χ_S , em que I⊃S é um intervalo limitado e χ_S é a função =1 em S e =0 fora de S (é independente do intervalo I ; o volume de S existe se e só se S é integrável num intervalo limitado I⊃S). Chama-se a χ_S função característica ou indicadora de S .

Proposição: Enunciado do Teorema de Fubini para funções limitadas integráveis à Riemann em intervalos limitados de ℝⁿ dando o integral como integrais iterados (a ser demostrado depois; como os integrais iterados de dentro podem não existir consideram-se os integrais inferiores e superiores respectivos).

Observação: Os integrais múltiplos incluem os integrais simples no caso n=1.

Ideia geométrica de cálculo de integrais múltiplos por integrais iterados (cálculo de volumes de sólidos S em ℝ³ por integração simples de áreas de secções planas de S).

Definição de volume (n-dimensional) de um conjunto limitado S⊂ℝⁿ a vol_n(S)=∫_S χ_S , em que I⊃S é um intervalo limitado e χ_S é a função =1 em S e =0 fora de S (é independente do intervalo I ; o volume de S existe se e só se χ_S é integrável num intervalo limitado I⊃S). Chama-se a χ_S função característica ou indicadora de S (S é o conjunto de nível 1 e ℝⁿ\S é o conjunto de nível 0 de  χ_S .

Teorema de Fubini: Se f:AxB→ℝ é limitada, A⊂ℝⁿ, B⊂ℝ^m são intervalos limitados, e f é integrável à Riemann em AxB⊂ℝ^n+m, ∫_AxBf é igual a integrais iterados em A e B , ou pela ordem inversa, em que, como o 2º integral pode não existir, deve-se considerar o respectivo integral inferior ou superior. 

Observações:
(1) Ilustração geométrica do T. de Fubini de uma função f(x,y) definida num intervalo limitado de ℝ² como dois integrais iterados simples, um que dá a área de secções planas correspondentes a uma das variáveis fixas e o outro que é o integral dessas áreas em relação à variável considerada fixa no 1º integral.
(2) Por aplicação repetida do Teorema de Fubini, para funções integráveis com as funções nos sucessivos integrais iterados também integráveis, o cálculo de integrais múltiplos pode ser reduzido ao cálculo sucessivo de integrais simples, sempre que se souberem integrar as respectivas funções.
(3) Pode ser mais fácil calcular um integral por integrais iterados em certas ordens do que em outras, e até não ser possível obter as primitivas correspondentes a uma ordenação das variáveis de integração em termos de funções elementares do cálculo, e poderem ser obtidas com outra ordenação.

Definição: Se f:I→ℝ é limitada, I⊂ℝⁿ é um intervalo limitado e f≥0 chama-se conjunto de ordenadas de f a O(f)={(x,y): x∈I, 0≤y≤f(x) }⊂ℝⁿ⁺¹.

Proposição: Se f:I→ℝ é limitada, I⊂ℝⁿ é um intervalo limitado e f≥0 o volume ((n+1)-dimensional) do conjunto de ordenadas O(f) de f existe se e só se f é integrável em I e  vol_n+1(O(f)) =∫_I f (generalizando no caso n=1 ∫_I f dar a área do conjunto de ordenadas de f ).
(Dem.: Como f é limitada, O(f)⊂Ix[0,sup_If] e vol_n+1(O(f)) = ∫_Ix[0,supIχ_O(f) ; se este integral existe, do Teorema de Fubini  vol_n+1(O(f)) = ∫_I [ ∫_[0,supIf]χ_O(f)(x,y) dy] dx = ∫_I [ ∫_[0,f(x)]1 dy]dx = ∫_I f(x) dx= ∫_I f ).

Observação: Generaliza-se o que é conhecido para integrais simples de funções integráveis ≥0 (a área do conjunto de ordenadas de uma função real definida num intervalo limitado de ℝ é o integral da função): o volume ((n+1)-dimensional) do conjunto de ordenadas de uma função real definida num intervalo limitado de ℝⁿ é o integral da função.

Exemplos: Cálculo de integrais duplos de funções integráveis concretas por integrais simples iterados, supondo que o integral duplo existe.

Notas históricas: O integral de Riemann foi definido por Bernhard Riemann em 1851. Antes do integral de Riemann tinha sido introduzido em 1831 por Augustin-Louis Cauchy o integral de Cauchy para funções contínuas em intervalos limitados e fechados (no caso de integrais simples define-se pelo limite de somas de áreas de um nº finito de trapézios com lados que são os subintervalos de partições finitas do domínio, os segmentos de recta que vão das extremidades de um subintervalo a dois pontos do gráfico da função e a secante ao gráfico da função com extremidade nos dois pontos).  A proposição precedente tem o nome de Fubini, apesar de Guido Fubini não ter provado este resultado, que era conhecido havia tempo, mas sim o resultado correspondente para integral de Lebesgue em 1907, logo a seguir a este integral ter sido introduzido por Henri Lebesgue em 1904. O integral de Lebesgue é o conceito usual de integral há mais de um século; hoje em dia o integral de Riemann tem principalmente interesse didáctico e histórico, com algumas situações especiais em que é útil por propriedades específicas, mas tem defeitos que só foram resolvidos com o integral de Lebesgue que será introduzido depois.

Exercícios da ficha 6, 1º mini-teste

4 abril 2018, 11:00 • Manuel Paulo de Oliveira Ricou

Exercícios da ficha 6: 1, 3

22ª Aula - Continuação de exemplos de aplicação do T. da Função Implícita e de cálculo de derivadas parciais das correspondentes funções definidas implicitamente. Motivação de integrais múltiplos de Riemann de campos escalares limitados em intervalos limitados, Partições de intervalos limitados, funções em escada, integral inferior e superior, e definição e notações de integral de Riemann de função limitada em intervalo limitado.

3 abril 2018, 11:30 • Luis Magalhães

Continuação de exemplos de aplicação do T. da Função Implícita e de cálculo de derivadas parciais das correspondentes funções definidas implicitamente.

Motivação da definição de integrais múltiplos de Riemann de campos escalares limitados em intervalos limitados, com referência ao cálculo de áreas, volumes, volumes-n, e a cálculo de grandezas escalares a partir de densidades por volume-n (e.g. de massa, de carga eléctrica, etc.); relação com integrais simples.

Definições: Intervalo em ℝⁿ; volume, partição finita e subintervalos de partição finita de intervalo limitado I⊂ℝⁿ; função em escada em intervalo limitado I⊂ℝⁿ , integral de função em escada em I ; integral inferior e integral superior de função limitada em intervalo limitado I⊂ℝⁿ, função limitada integrável à Riemann em I e integral de Riemann ∫_If de função limitada f:I→ℝ (todas em analogia com definições correspondentes em intervalos limitados de ℝ).

Notações para integrais múltiplos, referência a integrais duplos e integrais triplos.

21ª Aula - Revisão: Relação dos T. da Função Inversa e da Função Implícita com as correspondentes equações lineares obtidas por linearização no ponto considerado. Motivação, enunciado e demonstração do Teorema da Função Implícita. Exemplos concretos de aplicação e de cálculo de derivadas da função definida implicitamente.

2 abril 2018, 11:30 • Luis Magalhães

Revisão: Relação dos T. da Função Inversa e da F. Implícita com as correspondentes equações lineares obtidas por linearização no ponto considerado.

Motivação para Teorema da Função Implícita pela definição implícita de funções por sistemas de equações lineares em ℝⁿ e relação com solução geral de sistemas de equações lineares indeterminados com umas das incógitas dadas em função das outras (das incógnitas livres). Mostrar como se passa do sistema linear indeterminado para um sistema com solução única equivalente, como ideia do que se pode obter uma prova simples do T. da Função Implícita por aplicação imediata do T. da Função Inversa.

Teorema da Função Implícita: Se F:S→ℝ^m, S⊂ℝⁿ é aberto, m<n, F é diferenciável em S , DF é contínua em a∈S, F(a)=0 , a=(x₀,y₀)∈ℝ^n-mxℝ^m, det [∂F/∂y](x₀,y₀) ≠ 0, então existem X⊂S aberto com a∈X , U⊂ℝ^n-m aberto com x₀∈U , e f:U→ℝ^m diferenciável tais que, para (x,y)∈X, F(x,y)=0 ⇔ y=f(x) ; DF(x₀) = - ([∂F/∂y](x₀,y₀)])^-1[∂F/∂x](x₀,y₀) ; se F é C^k (com k≥1) , então f é C^k e a fórmula da derivada é válida em X .

(Dem. Acrescentar a F(x,y)=0 a equação x=x e aplicar o T. da Função Inversa à função h(x,y)=(x,F(x,y)).

Exemplos: Aplicação do Teorema da Função Implícita para função concreta e cálculo de derivadas de funções definidas implicitamente.

Observações: 
(1) Nas condições de Aplicação do Teorema da Função Implícita com F C^k, com k>1,  podem ser obtidas algumas das derivadas parciais de 1ª ordem em vez de todas na matriz jacobiana e derivadas parciais até ordem m da função definida implicitamente até ordem m por aplicações sucessivas da regra da cadeia a F(x,f(x))=0 .
(2) O T. da Função Inversa e o T. da Função Implícita são equivalentes. Começou-se por provar o 1º e o 2º foi obtido por aplicação imediata do 1º, mas poderia ter sido ao contrário.