Exercícios de revisão, 1º mini-teste

2 abril 2018, 10:00 • Manuel Paulo de Oliveira Ricou

Ficha 5: 2

Tópicos de teoria da integração

23 março 2018, 12:30 • Manuel Paulo de Oliveira Ricou

Aula dada pelo Miguel Barata:

20ª Aula - Revisão do T. da Função Inversa: motivação, enunciado, prova e observações. Exemplos concretos de aplicação do T. da Função Inversa e de cálculo da derivada da função inversa.  Definição de aplicação aberta. Funções C1 em conjuntos abertos de Rn em Rn com jacobiano ≠0 em todos os pontos são aplicações abertas.  Motivação do T. da Função Implícita e relação com obter soluções gerais de sistemas de equações lineares indeterminados, dando umas incógnitas em função de incógnitas livres.

23 março 2018, 11:30 • Luis Magalhães

Revisão: T. da Função Inversa: revisão de motivação, enunciado, prova e observações.

Teorema da Função Inversa: Se f:S→ℝⁿ, com S⊂ℝⁿ aberto, f é diferenciável em S, Df é contínua em a∈S e Jf(a)≠0 , então ∃ X⊂S aberto com a∈X tal que: 
(1)  Restrição f_|X tem inversa f^-1; 
(2)  Y=f(X) é aberto; 
(3)  f^-1 é diferenciável em Y e Df^-1(y)=[Df(x)]^-1, com x=f^-1(y) ; 
(4)  f é C^m (m≥1) ⇒ f^-1 é C^m.

Observações adicionais: 

(1) Além de se ficar com a garantia de existência de inversa local diferenciável na vizinhança de um ponto em que se pode aplicar o T. da Função Inversa, como não é, em geral, possível obter fórmulas explícitas para a função inversa, interessa poder calculá-la numericamente de modo aproximado. A prova dada não dá um método de cálculo numérico para tal, ou seja que dê uma aproximação da solução única da equação  f(x)=y com (x,y) numa vizinhança de (a,f(a)) , em que a é o ponto em torno do qual se está a aplicar o T. da Função Inversa. Serão publicados no Fénix slides com uma prova alternativa de (2) que dá um método de cálculo numérico. 

(2) A prova alternativa referida usa o Teorema de Contracção. Uma contração em F⊂ℝⁿ é uma função G:F→F que contrai distâncias entre pintos, i.e. tal que ∃_λ∈[0,1[∀_x,y∈F: ||G(y)-G(x)||≤λ||y-x|| . 
O Teorema de Contração é: toda contracção num conjunto fechado ∅≠F⊂ℝⁿ tem um único ponto fixo em S , i.e. um ponto x∈S tal que G(x)=x .
Aplicações sucessivas da função f dão uma sucessão que copnverge para o ponto fixo, pelo que o rsultado dá um método de cálculo numérico para calcular aproximadamente o ponto fixo. 
Resolver qualquer equação f(x)=y com x,y∈ℝⁿ é trivialmente equivalente a encontrar um ponto fixo para uma função relacionada, e.g. para F(x)=x-f(x)+y, pelo que uma prova de (2) no T. da Função Inversa usando o T. de Contracção dá um método de cálculo aproximado de valores da inversa local cuja existência o T. da Função Inversa garante.

Exemplos: Verificação das condições de aplicação do T. da Função Inversa num caso concreto em que existe inversa local excepto numa recta e não existe inversa global e cálculo da derivada da função inversa, e num caso em que o T. da Função Inversa não pode ser aplicado numa recta, garantindo existência de inversa local na vizinhança de todos os pontos excepto os dessa recta, mas existe inversa global. 

Definição:  Chama-se aplicação aberta a uma função que transforma conjunto abertos relat. ao domínio em conjunto abertos relat. ao contradomínio.. 

Proposição: Uma função f:S→ℝⁿ C¹, com S⊂ℝⁿ aberto e det Df(x)≠0 para x∈S é uma aplicação aberta.

Exemplo de função f:ℝ²→ℝ² C¹ com jacobiano ≠0 em todos os pontos, mas sem inversa global. Observação que tal não acontece para funções reais definidas num intervalo (devido à existência de relação de ordem ℝ compatível com as operações, f' contínua e f'≠0 num intervalo I⊂ℝ implica que f é estritamente crescente ou estritamente decrescente em I , logo, injectiva).

Motivação para Teorema da Função Implícita: Pretende-se obter para funções diferenciáveis f o análogo da solução geral de um sistema de equações lineares indeterminado em que umas incógnitas são dadas em função de incógnitas livres e, portanto, como função definida implicitamente pelo sistema de equações. Para tal convém que amatriz jacobiana de f em relação às incógnitas que se pretendem explicitar (as não livres) seja não singular.

Exemplo: Pontos de círcunferência no plano-xy em cuja vizinhança a equação cartesiana da circunferência define uma função x de y ou função y de x . 

Observação: Os teoremas da Função Inversa e da Função Implícita são equivalentes. Podem ser provados independentemente e pode ser obtido um como aplicação simples do outro. O que faremos é obter o T. da Função Implícita como consequência do T. da Função Inversa.

19ª Aula - Motivação para T. da Função Inversa e da F. Implícita: existência local e propriedades de soluções de equações não lineares com base na linearização num ponto. Definição de jacobiano. T. da Função Inversa: enunciado, prova e observações.

22 março 2018, 13:00 • Luis Magalhães

Motivação para Teorema da Função Inversa: A questão de soluções x de equações f(x)=y é muito importante em matemática e aplicações. A possibilidade de resolução explícita em termos de funções elementares é rara: é possível resolver em geral se f é uma transformação linear em dimensão finita, se f é um polinómio real existem fórmulas resolventes apenas para polinómios até ao 4ª grau e está provado que não há fórmulas resolventes para grau maior, as outras equações que se podem resolver são casos muito particulares, e.g. que se podem reduzir a estes por mudanças de variáveis ou aproveitando simetrias. Como, a não ser em casos muito particulares, não se podem resolver equações explicitamente, pretende-se:
(1) obter condições que garantam existência de soluções, 
(2) obter condições que garantam unicidade ou que permitam contar as soluções, 
(3) determinar conjuntos a que pertencem soluções, 
(4) ter métodos para calcular computacionalmente aproximações das soluções com a precisão pretendida.
Pretende-se obter condições com cálculo diferencial, e.g. para funções reais de variável real f diferenciáveis, se f´(a)≠0 a função é estritamente crescente ou decrescente e, portanto, injectiva numa vizinhança de a (existe inversa local mas pode não existir inversa global), e transformações lineares em ℝⁿ são injectivas se e só se têm representações matriciais A não singulares, i.e. com det A≠0 .

Definição: Se f:S→ℝⁿ, S⊂ℝⁿ e f tem derivadas parciais em a∈int S, chama-se jacobiano de f em a a Jf(a)=det Df(a) .  

Observação: Interessa obter propriedades de soluções de equações f(x)=y . O caso mais simples de equações lineares é Ax=y com A matriz nxn não singular, pois A tem inversa e a solução é única x=A^-1y. Se f não é linear, mas é diferenciável na vizinhança de um ponto a , admite no ponto aproximação linear e se esta linearização correspondente a considerar a matriz jacobiana Df(a) é não singular, pode-se inverter localmente f e obter propriedades da inversa que dá a solução única local x=f^-1(y) de f(x)=y. Este é o objectivo do:

Teorema da Função Inversa: Se f:S→ℝⁿ, com S⊂ℝⁿ aberto, f é diferenciável em S, Df é contínua em a∈S e Jf(a)≠0 , então ∃ X⊂S aberto com a∈X tal que: 
(1)  Restrição f_|X tem inversa f^-1; 
(2)  Y=f(X) é aberto; 
(3)  f^-1 é diferenciável em Y e Df^-1(y)=[Df(x)]^-1, com x=f^-1(y) ; 
(4)  f é C^m (m≥1) ⇒ f^-1 é C^m.

Observações: 

(a) O T. da Função Inversa dá condições suficientes para existência de inversa local, mas não necessárias (mesmo com funções continuamente diferenciáveis, e.g. com n=1, f(x)=x³ e f(x)=x² no ponto 0 f'(0)=0 e a 1ª tem inversa mas a 2ª não).

(b) (1) foi provado com uma mudança de variáveis para facilitar a notação passando (a,f(a)) para (0,0) por translação aplicando uma mudança de variáveis linear com [Df(a)]^-1 de modo à matriz jacobiana em 0 nas novas variáveis ser I_n para facilitar a notação, e uma aplicação do T. de Lagrange a G(x)=x-f(x) numa bola suficientemente pequena centrada na origem para obter aí injectividade de f .
     (2) foi provado com 2 aplicações do T. de Weierstrass (a ||f(x)-f(a)|| para x∈∂X=∂B_R(0) para obter um mínimo d>0 e outra a  ||f(x)-y||² para x∈Y, com Y=B_d/2(f(a)), para obter que existe um mínimo em x∈f^-1(Y), que, portanto, é um ponto de estacionaridade e, em consequência, f(x)=y, e, depois, aplicando que preimagens de conjuntos abertos por funç~eos contínuas em abertos são conjuntos abertos.
     (3) supondo que a inversa local f^-1 é diferenciável em Y, a fórmula de Df^-1 é consequência imediata da regra de derivação da função composta, pois, como f^-1∘f=1_X, é D f^-1(y)Df(x)=1_X e, portanto, Df^-1(y)=[Df(x)]^-1, com y=f(x) .. Provar que a inversa f^-1 é diferenciável em Y é provar que o resto na Fórmula de Taylor de f^-1 é infinitésimo de ordem superior a 1 a partir da Fórmula de Taylor de f e usando majoração obtida em (1) com T. de Lagrange, depois de provar que f^-1 é contínua para poder relacionar a convergência de acréscimos no domínio de f^-1 com acréscimos no domínio de f , o que também se faz com a majoração obtida em (1).
     (4) prova-se com Fórmula de Cramer para inversa de matriz em termos de cofactores.

(c) A prova dada usou Álgebra Linear, T. de Lagrange, T. de Weierstrass, preimagens de abertos por funções contínuas são abertos relativamente ao domínio,que também foi o que foi usado para quase toda a matéria dada antes na disciplina (o resto foi insistir em que em mais de uma variável não basta analisar sobre rectas).

(d) Apesar da prova ter de ser elaborada, especialmente a de (2), visto que o resto é natural, a aplicação do T. da Função Inversa em casos concretos é, em geral, muito simples, pois limita-se a verificar se a função é diferenciável e tem matriz jacobiana não singular e contínua num ponto. Fica garantida a existência de inversa local diferenciável e a regra de derivação desta função (mas esta regra pode ser sempre obtida simplesmente aplicando a regra de derivação da função composta.

(e) A prova dada não dá um método de cálculo numérico para calcular a inversa local aproximadamente, ou seja que dê a solução única da equação  f(x)=y com (x,y) numa vizinhança de (a,f(a)) , em que a é o ponto em torno do qual se está a aplicar o T. da Função Inversa. Serão publicados no Fénix slides com uma prova alternativa de (2) que dá um método de cálculo numérico. 

Exercícios da ficha 5

21 março 2018, 11:00 • Manuel Paulo de Oliveira Ricou

Ficha 5: 3, 4 (d), (h)