56ª Aula - Prova de equivalência das descrições locais de variedades-m em ℝn por parametrizações (ou sistemas de coordenadas), gráficos de funções, equações cartesianas. O complementar do conjunto de pontos críticos num conjunto de nível de um campo C1 de um subconjunto de ℝn para ℝp com p

1 junho 2018, 11:30 • Luis Magalhães

Prova de equivalência das 3 descrições locais de variedades-m em ℝⁿ, por (1) parametrizações (ou sistemas de coordenadas), (2) gráficos e (3) equações cartesianas.  

(1)⇐(2)⇒(3) já feito. 
(1)⇒(2) Se g é parametrização C^k de vizinhança de coordenadas M∩U de um ponto a∈M, a menos de permutação de coordenadas g=(g₁,g₂) com Dg₁ mxm não singular para t numa vizinhança de t₀=g^-1(a) e aplicando o TFInversa localmente g₁ tem inversa (g₁)^-1de conjunto aberto W₁ que contém t₀ sobre conjunto aberto, e como se pretende (g₁(t),g₂(t))=(x,f(x)) define-se f=g₂∘(g₁)^-1 em W₁; G(f)=g(W₁)=(g^-1)^-1(W₁) , pelo que é a imagem inversa de um aberto por uma função contínua e, portanto é um aberto relativamente a M∩U, ou seja G(f)=M∩U' para algum aberto U'⊂ℝⁿ que contém a . 
(3)⇒(2) é caso particular do resultado seguinte, pois localmente uma equação cartesiana de uma de um conjunto M∩U com U'⊂ℝⁿ aberto define um conjunto de nível de uma função C^k sem pontos críticos.

Proposição: Se F:S→ℝ^p é C^k (k∈ℕ) em S⊂ℝⁿ aberto e p<n, então: (conjunto de nível de F) \ (conjunto de pontos críticos de F (i.e. rank DF<p) ) quando não vazio é localmente gráfico de uma função C^k de um subconjunto aberto de ℝ^m para ℝ^n-m (logo uma variedade-(n-p) C^k em ℝⁿ). 
(Dem.: Se a∈F^-1({c}) não é ponto crítico, a menos de permutação de coordenadas DF(a)=[∂F/∂x ∂F/∂y] com ∂F/∂y pxp não singular aplicando o TFImplícita numa vizinhança de a à equação F(x,y)=c obtém-se que ∃ função h C^k tal que a equação equivale a y=h(x)).

Prova de existência de partição da unidade em qualquer S⊂ℝⁿ subordinada a qualquer cobertura aberta ℱ de S . 

Proposição: Se F⊂ℝⁿ é fechado e K⊂int F é compacto, ∃ φ:ℝⁿ→[0,1] C^∞, supp φ⊂F, φ=1 em K.
(Dem.: Prova-se em passos sucessivos:
(1) ∃ f:ℝ→[0,1] C^∞, f^(k)(0)=0 para k∈ℕ∪{0}, f(x)>0 para x≠0 (e.g. f(x)=e^1/x2, x≠0 ). 
(2) ∃ g:ℝ→[0,1] C^∞, supp g=[-1,1] (e.g. g(x)=f(x-1)f(x+1) para |x|<1 e nula caso contrário).
(3) ∃ h:ℝⁿ→[0,1] C^∞, supp h é bola fechada B_r de raio r>0 centrada em a∈ℝⁿ na norma || ||_∞ (e.g. h(x₁,...,x_n)=g((x₁-a₁)/r) ··· g((x_n-a_n)/r)).
(4) Cobre-se K por intervalos abertos do tipo int B_r de (3) com B_r⊂F. ∃ subcobertura finita de K. Somam-se as correspondentes funções h de (3) para definir k com supp k⊂F e k>o em K. Do T. Weierstrass k tem mínimo m>0 em K. φ=s∘k com :ℝ→[0,1] C^∞, s(t)=0 para t<0, s(t)=1 para t>m e 0<s(t)<1 para 0<t<m (e.g. s(t)=∫_[0,x]p_m/∫_[0,m]p_m, em que p_m(t)=g(2t/m-1) ).

Proposição: Existe partição da unidade em qualquer S⊂ℝⁿ subordinada a qualquer cobertura aberta ℱ de S . 
(Dem.: Prova-se em passos sucessivos para: (1) S compacto (ver livro); (2) S=U_j∈ℕK_j com K_j compactos e K_j⊂int K_j+1 (ver livro); (3) S aberto (é do tipo de S em (2)): (4) S qualquer (S⊂T=U_U∈ℱU e T é aberto, aplica-se (3)).

Observações: 
(1) Obtiveram-se TFC para variedades-m em ℝⁿ nos casos m=1 e n∈ℕ (p/ integrais de linha), m=n (p/ integrais múltiplos ou T. da Divergência), m=2 e n=3 (T. de Stokes em variedades-2 em ℝ³). Em geral, para 1≤m≤n , n∈ℕ , também há um TFC, mas tem de se considerar funções que não são campos vectoriais em ℝⁿ. Como as relações de expansão/contracção de volume-m por parametrizações g de variedades-m em ℝⁿ correspondem às várias formas de seleccionar m linhas da matriz jacobiana Dg , que é nxm , sem repetições e independentemente da ordenação é combinações de n , m a m , ou seja k=n!/(m!(n-m)!) , as funções a considerar para integração em variedades-m em ℝⁿ devem ter k componentes escalares. 
Para m=1 é k=n e, portanto são campos vectoriais em ℝⁿ que é o caso de integrais de linha; para m=n é k=1 e, portanto, são campos escalares que é o caso de integrais múltiplos; para m=2 e n=3 é k=3 e, portanto, são campos vectoriais em ℝ³ que é o caso de integrais em variedades-2 em ℝ³; para m=n-1 e n∈ℕ é k=n e, portanto, são campos vectoriais em ℝⁿ que é o caso de fluxos de campos vectoriais em fronteiras de domínios regulares em ℝⁿ. Contudo, por exemplo, para m=2 e n=4 é k=6 , e para m=2 e n=5 ou m=3 e n=5 é k=10 , e, portanto, integrais em variedades-2 em ℝ⁴ devem ser de funções com 6 componentes escalares, integrais em variedades-2 em ℝ⁵ ou em variedades-3 em ℝ⁵ devem ser de funções com 10 componentes escalares, e assim sucessivamente. Estas funções a integrar em variedades-m em ℝⁿ, para 1≤m≤n , n∈ℕ , com n!/(m!(n-m)!) componentes chamam-se formas diferenciais de ordem m ou formas-m .
A fórmula do TFC ou T de Stokes em variedades-m  em ℝⁿ é simplesmente  ∫_Aodω = ∫_∂Aoω , válida se A é um domínio regular numa variedade-m em ℝⁿ orientável, o em A_o é uma orientação desta variedade e em ∂A_o é uma orientação da variedade-(m-1) ∂A consistente com a anterior, ω é uma forma-(m-1) C¹ no fecho de A e dω  é uma forma-m a que se chama derivada exterior de ω , cuja fórmula se pode obter analogamente a como se obtiveram a divergência e o rotacional por aplicação do T da Divergência no domínio de uma parametrização da variedade-m e considerando o operador diferencial que resulta após aplicação da parametrização no integral na variedade-m .
(2) O T de Stokes com formas diferenciais unifica os TFC considerados anteriormente. Em particular, no caso de formas-(n-1) em ℝⁿ a derivada exterior corresponde à divergência do campo vectorial associado, no caso de formas-0 em ℝⁿ corresponde ao gradiante  e no caso de formas-1 em ℝ³ corresponde ao rotacional.
(3) Analogamente ao referido para os casos tratados, por aproximações de funções contínuas por funções C¹ ou C² obtém-se a versão geral do T. de Stokes para as correspondentes  variedades com cantos.
(4) A derivada exterior de uma forma-m é um operador diferencial intrínseco, por razão análoga da divergência e do rotacional.
(5) Define-se forma ω fechada se dω=0 , que para formas-(n-1) corresponde a campos vectoriais solenoidais e para formas-1 em ℝ³ corresponde a campos vectoriais irrotacionais. Define-se forma ω exacta se ω=dγ , generalizando tanto campos que são um gradiante como campos que são um rotacional. Pode-se provar de modo análogo a como se fez para campos irrotacionais ou solenoidais num conjunto em estrela que num conjunto em estrela uma forma fechada é exacta

Exercícios das fichas 10 e 12

30 maio 2018, 11:00 • Manuel Paulo de Oliveira Ricou

Ficha 10: 1 (b), 2

55ª Aula - Revisão de definição de caminhos fechados homotópicos e homotopia num conjunto. Invariância de integrais de campos fechados em caminhos fechados homotópicos. Definição e exemplos de conjuntos simplesmente conexos em ℝ2 e ℝ3. Suficiência de conjunto simplesmente conexo para um campo fechado C1 ser equivalente a ser gradiante. Definição de laplaciano e relações entre os operadores diferenciais gradiante, rotacional, divergência e laplaciano. Regras de derivação com estes operadores diferenciais. Definição de campo solenoidal. Campos C1 em subconjuntos em estrela de ℝ3 são solenoidais se e só se são rotacionais de algum campo vectorial. Definição de potencial vectorial.

29 maio 2018, 11:30 • Luis Magalhães

Revisão: Definição de caminhos fechados homotópicos e de homotopia num conjunto.

Proposição: Invariância de integrais de campos vectoriais contínuos fechados num conjunto aberto  S⊂ℝⁿ em caminhos fechados seccionalmente regulares homotópicos em S.
(Dem. Na prova do T. de Stokes obteve-se com o T. de Green: se D é domínio regular de vizinhança de coordenadas de variedade-2 C² M em ℝⁿ parametrizada por g:D→ℝⁿ C², então ∫∫g_^-1(D) (D₂g)t[(Df)-(Df)t](D₁g) = ∮_∂Df·dβ, em que β=g∘α e α é caminho que descreve g-1(∂D) no sentido antihorário. A mesma fórmula é válida com g a homotopia e β a diferença dos caminhos fechados homotópicos. Como f é um campo fechado, Df-(Df)^t=0 e os integrais nos caminhos homtópicos C² são iguais. Como homotopias C² podem ser uniformemente aproximadas por homotopias C⁰ obtém-se o resultado).

Definição: Diz-se que um conjunto conexo S⊂ℝⁿ é simplesmente conexo se todo caminho fechado em S é homotópico a um caminho constante.

Observação: Um conjunto conexo é simplesmente conexo se cada curva fechada nele pode ser deformada para um ponto sem sair desse conjunto. 

Exemplos geométricos em ℝ² e ℝ³ de conjuntos simplesmente conexos e não simplesmente conexos.

Proposição: Se S⊂ℝⁿ é aberto e f:S→ℝⁿ é C¹, uma condição suficiente para ser (f fechado em S ⇔ f gradiante em S) é que S seja simplesmente conexo.

Observação: Esta condição suficiente é mais fraca do que a anterior de S ser um conjunto em estrela (i.e. conjuntos em estrela são simplesmente conexos). Em ℝ² a condição é necessária e suficiente; obter condições necessárias e suficientes em ℝⁿ com n>2 requer mais conhecimento de topologia algébrica.

Operadores diferenciais do Teorema Fundamental do Cálculo em ℝ, ℝⁿ, ℝ³, ℝⁿ, para integrais, resp., simples, de linha, de superfície, múltiplos, resp., f', grad f, rot f, div f (resp., df/dt, ∇f, ∇xf , ∇·f). Relações entre estes operadores para campos C² rot grad φ=0 e div rot f=0 , e em variedades-m compactas M com campos C¹ ∫_M∇φ·dg=0 ,  ∫_M rot f·n=0 , em que g é caminho regular simples fechado que descreve curva M e n normal unitária a M contínua.

Outras relações entre os operadores diferenciais referidos:
(1) Em ℝⁿ: div grad φ = lap φ em que  lap φ = ∂²φ/∂x₁²+ ··· + ∂²φ/∂x_n² é chamado laplaciano de φ e também se designa  ∇²φ ou Δφ .
(2) Em ℝⁿ: rot rot f = grad div f - lap f , com lap f = (lap f₁, lap f₂, lap f₃) (esta fórmula relaciona os 4 operadores diferenciais considerados).

Regras de derivação:
(1) grad, rot e e div são transformações lineares em espaços de campos com derivadas parciais, pelo que aplicados a uma combinação linear de campos dão a combinação com os mesmos coeficientes da sua aplicação a cada campo.
(2) para produtos de campos escalares por campos escalares ou vectoriais: 
grad(φψ) = ψ grad φ + φ grad ψ , rot(φg) = (grad φ)xg + φ rot g , div(φg) = (grad φ)·g + φ div g .
(3) para produtos internos ou externos de campos vectoriais: 
em ℝⁿ, grad(f·g)=(g·grad)f+(f·grad)g+fxrot g+gxrot f ; em ℝ³, rot(fxg)=(divg)f-(divf)g+(g·grad)f-(f·grad)g e div(fxg)=(rot f)·g-g·(rot f) , em que  (g·grad)f=g₁∂f₁/∂x₁+ ··· +g_n∂f_n/∂x_n.

Definição: Se div f=0 diz-se que f é solenoidal.

Pode-se provar analogamente a que para campos C¹ em conjuntos abertos em estrela S⊂ℝⁿ (f é fechado em S ⇔ f é gradiante em S) o que para n=3 é (f é irrotacional em S ⇔ f é gradiante em S) que (f é solenoidal em S ⇔ f é rotacional em S) e se f=rot A=rot B , então B=A+grad φ para algum campo escalar φ C¹. (Dem.: (⇐) já provado. (⇒) Analogamente ao caso referido, considera-se o centro do conjunto em estrela e define-se A por integração sobre segmentos de recta substituindo o produto interno por externo A(x)=∫_[0,1]f(tx)xx dt , aplica-se a regra de Leibniz e a 2ª fórmula em (3) para obter rot A(x)=∫_[0,1](∂/∂t)[t²f(tx)]dt=f(x) . Se rot A=rot B , A-B é irrotacional e, portanto, é gradiante).

Definição: Se f=rot A num conjunto aberto S⊂ℝ³ diz-se que A é um potencial vectorial de f . 

Observação: 
(1) Pode-se calcular um potencial vectorial A de um campo vectorial f C¹ num subconjunto aberto em estrela de ℝ³, considerando uma das compontes de A nula, por primitivação de duas das equações para as componentes rot A=f e garantindo depois que as constantes de primitivação em função das variáveis consideradas fixas nas derivadas parciais primitivadas são tais que a equação da restante componente é satisfeita.
(2) O resultado precedente é que campos f C¹ solenoidais em subconjuntos de abertos em estrela S⊂ℝ³ têm potencial vectorial. Se f não é solenoidal e S é tal que a equação de Poisson lap φ=div f tem solução (para o que é suficiente (mas não necessário) que S seja limitado e a fronteira de S seja C²), então f tem potencial vectorial e escalar no sentido de ser f=rot A+grad φ, pois  como div(f-grad φ)=0 , f-grad φ é solenoidal e tem potencial vectorial A (Teorema de Helmoltz).

54ª Aula - Revisão: Enunciado do T. de Stokes e prova em vizinhança de coordenadas de superfície C2 em ℝ3. Extensão dos TFC a variedades com cantos. Invariância de divergência e rotacional com transformações de coordenadas. Descrição geométrica de rotacional de campo vectorial. Referência a aplicações do TFC. Anulação do fluxo de um rotacional contínuo numa variedade-2 compacta em ℝ3. Homotopia de caminhos simples fechados num subconjunto de ℝn. Invariância de integrais de linha de campos fechados num subconjunto de ℝn sobre caminhos homotópics nesse subconjunto. Motivação para a noção de conjunto simplesmeonte conexo e a equivalência de campos C1 gradiantes e fechados em conjuntos simplesmente conexos.

28 maio 2018, 11:30 • Luis Magalhães

Revisão:
(1) T de Stokes (TFC para integrais em variedade-2 de ℝ³): Se M⊂ℝ³ é uma variedade C² orientável, com orientação n , A⊂M é um domínio regular em M , f é um campo vectorial C¹ em A com valores em ℝ³, β designa caminho(s) regular(es) simples fechados que representam o bordo ∂A , então ∫_Arot f·n = ∮_∂Af·dβ .
(2) Na prova do T. de Stokes obteve-se com o T. de Green: se D é domínio regular de vizinhança de coordenadas de variedade-2 C² M em ℝⁿ parametrizada por g:D→ℝⁿ C², então ∫∫_g^-1(D) (D₂g)^t[(Df)-(Df)^t](D₁g) = ∮_∂Df·dβ, em que β=g∘α e α é caminho que descreve g^-1(∂D) no sentido antihorário.

Dem. do T. de Stokes:
(1) localmente para funções com suporte numa vizinhança de coordenadas de M feito quando se motivou e obteve uma fórmula para o rotacional, baseado na aplicação do T. de Green e na parametrização da vizinhança de coordenadas.
(2) globalmente (tal como para o T. da Divergência usam-se partições da unidade para juntar as contribuições locais).Como A é compacto tem cobertura admissível finita ℱ={U ₁, ..., U _N} tal que o resultado é válido para funções com suporte em cada um dos U _j . Se Ψ={ψ ₁,..., ψ _N} é partição da unidade finita em D subordinada a ℱ, com supp ψ _j ⊂ U _j , de (1) é ∑ _j ∫ _Arot(ψ _j  f) ·n = ∑ _j ∮ _∂A(ψ _j f) ·d β  = ∮ _∂A f·d β  . Como rot(ψ _j  f) = ∇ψ _jx f + ψ _j rot  f , é ∮ _∂A f·d β = ∫ _A∇(∑ _jψ _j)x f + ∑ _j ∫ _Aψ _j rot  f·n = ∫ _Arot  f·n , pois ∇(∑ _jψ _j)=∇1=0 .

Observações:
(1) T. de Stokes (n=3, m=2): ∫_Drot f·n = ∮_∂Df·dβ, o integral de linha no bordo ∂D do domínio regular D de variedade-2 em ℝ³ no sentido antihorário quando visto do lado para onde aponta a orientação n de D.
(2) Notação (e mnemónica de cálculo): div f=∇·f e rot f=∇xf .
(3) No T. de Stokes ∂D pode ser desconexo paraD domínio regular numa variedade-2 em ℝ³, assim como no T. da Divergência para D domínio regular em ℝ³ (e no T. de Green em que ∂D pode ser uma união de curvas fechadas simples). Exemplos de uma porção de superfície cilíndrica de revolução com bordo união de duas circunferências desconexas e de domínio regular desconexo no plano.
(4) O TFC também é válido para domínios regulares D com cantos, ou seja com ∂D uma variedade com cantos (que estende a ideia de caminho seccionalmente regular (para m=1)), ou seja uma variedade-m M com cantos em ℝⁿ é união finita M=M₁∪···∪M_N de variedades-m em ℝⁿ com bordos que são uniões finitas de variedades- (m-1) em ℝⁿ com bordos que satisfazem a correspondente propriedade sucessivamente até chegar a variedades-1. (a prova baseia-se na aproximação uniforme de um domínio regular com cantos em ℝⁿ D por uma sucessão de domínios regulares e na obtenção do TFC para o domínio regular com cantos por passagem ao limite, observando que os bordos das variedades-(m-1) em que se decompõe ∂D têm medida-(m-1) nula). Em consequência, a hipótese da variedade-2 ser C² pode ser omitida.
(5) Considerando para um ponto a∈ℝ³ domínios regulares D_ε de variedades-2 M em ℝ³ tais que a∈D_ε com área V₂(D_ε)→0 quando ε→0 , como se f é C¹ então rot f é contínua, obtém-se que rot f(a)·n(a) é o limite da circulação de f (do trabalho de f se é um campo de forças) em torno de a em curvas regulares simples fechadas contidas em variedades-2 que contêm a e têm plano tangente em a normal a n, quando a linha fechada tende para a . Logo, rot f·n é uma entida "intrínseca".
(6) div f=∇·f e rot f·n=(∇xf)·n são operadores diferenciais intrínsecos (invariantes sob transformações de coordenadas).
(7) Descrição geométrica de rot f(a) : é o vector com direcção normal ao plano em que o limite da circulação em curvas de Jordan no plano que passa em a e contém a no interior da porção do plano que delimita por unidade de área limitada quando a curva tende para a é máxima, com sentido para de onde se vê a circulação no sentido antihorário, e intensidade igual ao valor do limite referido. |rot f(a)·n| dá o valor do limite análogo da circulação em curvas de Jordan no plano normal a n . Em particular, se rot f(a)≠0 , o valor limite da circulação em planos paralelos a rot f(a) que passam em a é 0 .
(8) volumes podem ser calculados por integrais de superfície e áreas podem ser calculadas por integrais de linha com campos com divergência 1. Referência a curvímetros como instrumentos usados em cartografia que permitem calcular áreas de conjuntos planos limitados por curvas fechadas simples uma vez "passados" sobre essas curvas. 

Proposição: Em qualquer variedade-2 M compacta em ℝ³ orientável o fluxo do rotacional de qualquer campo vectorial C¹ em M é 0 (semelhante ao integral de linha do gradiante de qualquer campo C¹ sobre curvas regulares simples fechadas ser 0 ).
(Dem.: Escolher um ponto na variedade, e em torno dele um caminho regular fechado simples g . A variedade fica separada pela curva correspondente em duas componentes conexas M₁, M₂ e, do T. de Stokes, o fluxo do rotacional numa destas é o integral de linha sobre o caminho e sobre a outra é o simétrico, pelo que o fluxo em M é a soma dos dois integrais de linha, logo 0).

Definição: Se S⊂ℝⁿ, caminhos fechados g_o,g₁:[a,b]→S são homotópicos em S se existe uma função contínua H:[0,1]x[a,b]→S tal que H(s,a)=H(s,b) , para s∈[0,1] , com H(0,t)=g₀(t) e H(1,t)=g₁(t) para t∈[a,b] . Chama-se a H homotopia em S de g₀ para g₁ . Se H é C^k chama-se homotopia C^k em S e diz-se que os caminhos fechados g₀ e g₁ são homotópicos-C^k em S .

Proposição: Se f:S→ℝⁿ é um campo vectorial fechado num conjunto aberto  S⊂ℝⁿ, então integrais de linha sobre caminhos seccionalmente regulares fechados homotópicos em S são iguais.

Motivação da definição de conjunto simplesmente conexo e de em conjuntos simplesmente conexos capos fechados C1 serem precisamente os campos gradiantes.

Exercícios das fichas 10 e 12

28 maio 2018, 10:00 • Manuel Paulo de Oliveira Ricou

Ficha 10: 1 (b), 4, 5 (a)