Sumários
Exercícios
16 março 2010, 16:30 • Pedro Miguel Almeida Serra Costa Vitória
Exercícios 2ªficha: Diferenciabilidade
AT10 Diferenciabilidade num ponto para funções com valores em R^m; diferenciabilidade num domínio
16 março 2010, 14:00 • Roger Francis Picken
Resumo, com indicações sobre como provar a diferenciabilidade ou não-diferenciabilidade num ponto de funções de n variáveis com valores reais, incluindo exemplos. Definição da diferenciabilidade num ponto de funções de n variáveis com valores em R^m. Propriedade de uma função diferenciável num ponto: a derivada da função no ponto segundo um vector v é o produto matricial da matriz derivada de f no ponto e o vector v. A diferenciabilidade num ponto de uma função com valores em R^m, equivale a diferenciabilidade no mesmo ponto das suas m funções coordenadas. Para provar a diferenciabilidade de funções num domínio D (ou seja, em todos os pontos desse domínio), basta assim olhar para o caso de funções com valores reais. Existem duas abordagens 1) as funções constantes e as funções, que atribuem a cada x de R^n a sua componente x_i, são diferenciáveis em R^n. Depois a soma, o produto e o cociente de duas funções com valores reais diferenciáveis em D é diferenciável, e ainda a composição de uma função com valores reais diferenciável em D com uma função real de uma variável diferenciável, é diferenciável. 2) Uma função de classe C^1 em D (ou seja cujas derivadas parciais são todas funções contínuas em D) é diferenciável em D. Exemplos dos dois métodos.
AT9 Diferenciabilidade num ponto para funções reais de 2 ou mais variáveis
15 março 2010, 14:00 • Roger Francis Picken
Comentários sobre o limite que aparece na definição de uma função real de duas variáveis ser diferenciável num ponto, particularmente quando o numerador desse limite é zero, ou seja, o gráfico da função é um plano em R^3. Reformulação da definição usando a notação "o-minúscula". Generalização da definição para funções reais de n variáveis.
Propriedade principal de uma função diferenciável num ponto: uma fórmula igualando a derivada da função no ponto segundo qualquer vector v com o produto interno entre o gradiente de f no ponto e o vector v. Outra propriedade: quando f é diferenciável num ponto isto implica que f é contínua nesse ponto. Assim temos 3 condições necessárias para que f seja diferenciável num ponto: 1) a existência de todas as derivadas parciais e derivadas segundo qualquer v de f nesse ponto; 2) a compatibilidade entre as derivadas de f nesse ponto, de acordo com a fórmula anterior; 3) a continuidade de f nesse ponto. Menção de exemplos anteriores onde a função falha 1) ou 2), revelando-se assim como sendo não-diferenciável num ponto. Novo exemplo de uma função que não falha 1) nem 2), mas é descontínua, revelando-se assim como sendo não-diferenciável num ponto.