Sumários
AT6 Propriedades de limites; continuidade num domínio; aplicações de continuidade
8 março 2010, 14:00 • Roger Francis Picken
Propriedades dos limites para a adição, multiplicação, divisão e composição de funções.
Noção da continuidade de uma função num domínio de pontos. Continuidade da soma, do produto, do cociente e da composição de funções contínuas num domínio. Observação que as funções constantes e as funções, que atribuem a cada x de R^n a sua componente x_i, são contínuas e R^n.
Aplicações: 1) detecção de conjuntos fechados e abertos, dados por condições fechadas ou abertas envolvendo uma função contínua. 2) detecção da existência de extremos: uma função contínua definida num domínio compacto de R^n, com valores em R^m, tem imagem compacta. Como consequência temos para m=1 o teorema de Weierstrass, dizendo que uma função contínua definida num domínio compacto de R^n, com valores em R, tem valor máximo e mínimo.
AT 5 Limites e continuidade; limites relativos a um subconujunto
5 março 2010, 14:30 • Roger Francis Picken
Quadro conceptual dos casos possíveis: o limite existe / não existe; o ponto pertence / não pertence ao domínio; a função é contínua / descontínua no ponto; a função pode / não pode ser prolongada por continuidade ao ponto.
Breve discussão do critério da majoração para mostrar a existência do limite. Exemplo com a transferência do limite de uma função num ponto diferente da origem para a origem. Definição do limite de uma função relativo a um subconjunto do domínio, e uso da noção de limites relativos a subconjuntos para mostrar a não-existência do limite num ponto. Exemplo, e exercício envolvendo o caso particular dos limites direccionais. Outro exemplo onde os limites relativos a rectas e parabolas são todos iguais, mas diferem do linite relativo a uma curva com equação cúbica.