Sumários
AT33
11 maio 2020, 16:00 • Francisco José Sepúlveda Gouveia Teixeira
A fórmula de Taylor com resto de Lagrange (demonstração) e com resto de Peano. Aplicação à determinação de extremos.
(ler páginas 436 a 438 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira)
Notas adicionais: Demonstra-se a fórmula do resto de Lagrange e sugere-se a dedução da fórmula do resto de Peano. Esta última é depois aplicada à determinação de extremos locais para funções pelo menos 2-vezes diferenciáveis num ponto. A ideia é ter um método alternativo para determinar a existência de extremos locais, que dispensem o estudo do sinal da 1ª derivada numa vizinhança do ponto de estacionaridade (i.e, um ponto a tal que f'(a)=0). O pdf com os meus apontamentos da
aula.
AT32
7 maio 2020, 16:00 • Francisco José Sepúlveda Gouveia Teixeira
A fórmula de Taylor para funções reais de variável real: exemplos. A fórmula do resto de Lagrange
(ler páginas 400 a 401 e 405 a 409 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
Notas adicionais: Terminado o Cálculo Integral na aula anterior, volta-se agora ao Cálculo Diferencial para estudar um assunto que por conveniência da organização das aulas práticas não se abordou na altura. Trata-se da Fórmula de Taylor de uma função n-vezes diferenciável num ponto, interior ao seu domínio. A ideia base é apresentar a possibilidade de aproximar uma função, numa vizinhança de um ponto, por um polinómio, que se designa por polinómio de Taylor, a menos de um resto (ou erro) que se espera razoavelmente pequeno. Nesta primeira aula sobre o assunto dá-se o Teorema de Taylor, muito geral mas com pouca informação sobre o erro ou resto da fórmula, vendo-se em seguida como com mais algumas hipóteses sobre a função se pode ter uma outra representação para o resto, a chamada fórmula do resto de Lagrange (pois na verdade reduz-se a uma versão do teorema de Lagrange, quando n=0). A demonstração deste resultado faz-se na próxima aula, dando-se agora apenas dois exemplos, para a função exponencial e para a função sen, no ponto a=0 (caso em que é costume designar a Fórmula de Taylor por Fórmula de MacLaurin). Em ambos os exemplos obtêm-se majorações para o resto. O pdf com os meus apontamentos da
aula.
Primitivação por substituição. Integral Riemann (aula online)
7 maio 2020, 14:30 • António José Vieira Bravo
Aula Zoom -resolução de exercícios para a aula prática 11.Sugere-se que os alunos resolvam os exercícios previstos para esta semana, aula prática nº11 ( https://www.math.tecnico.ulisboa.pt/~fteix/CI2019_20_2S/exercicios.pdf) Caso tenham dúvidas, enviem questões por e-mail (abravo@math.tecnico.ulisboa.pt) que serão respondidas, durante o horário de dúvidas estabelecido ou noutro horário previamente acordado.
AT31
6 maio 2020, 16:00 • Francisco José Sepúlveda Gouveia Teixeira
Integração por substituição. Exemplos. Determinação de áreas de conjuntos planos.
(ler páginas 549 a 550 e 578 a 581 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
Notas adicionais: Começa-se por dar mais um método de integração, conhecido como integração por substituição, que resulta da regra de Barrow e do teorema da derivada da função composta. Fazem-se depois alguns exemplos, em que a ideia principal é encontrar uma substituição que conduza a uma função integranda que se saiba primitivar, por exemplo uma função racional (quando possível). Por fim, dá-se uma aplicação do cálculo integral, a determinação de áreas de certos conjuntos planos. Opta-se por uma abordagem mais simples (mas menos geral) da que se apresenta no livro, recorrendo directamente ao conceito intuitivo de área, que no início nos motivou para a noção de integral. São feitos diversos exemplos. O pdf com os meus apontamentos da
aula.
Primitivação por substituição. Integral Riemann (aula online)
5 maio 2020, 16:00 • António José Vieira Bravo
Aula Zoom -resolução de exercícios para a aula prática 11.Sugere-se que os alunos resolvam os exercícios previstos para esta semana, aula prática nº11 ( https://www.math.tecnico.ulisboa.pt/~fteix/CI2019_20_2S/exercicios.pdf) Caso tenham dúvidas, enviem questões por e-mail (abravo@math.tecnico.ulisboa.pt) que serão respondidas, durante o horário de dúvidas estabelecido ou noutro horário previamente acordado.