Sumários
AT39
17 maio 2017, 13:00 • Roger Francis Picken
Revisão de conceitos: f gradiente no domínio D implica que f é fechado em D. O recíproco pode ser falso (o campo "ralo de banheira" no seu domínio completo R^2 menos a origem). Quando o domínio do campo "não tem buracos" (è convexo, em estrela, ou simplesmente conexo), então a implicação recíproca já se verifica. Exemplo: discussão do exercício 3b da ficha 11, com resolução pragmática e resolução sofisticada.
Teorem de Green. Enunciado informal, primeiro para o caso de uma região S planar simplesmente conexo, depois para S não-simplesmente conexo. Quando o campo f é fechado, o teorema ilustra factos já vistos, em particular, usando a versão com S não-simplesmente conexo, mostra-se para o campo "ralo de banheira" que o trabalho do campo ao longo de qualquer caminho simples que faz uma volta à origem no sentido anti-horário é 2 pi. Exemplo do uso do teorema de Green para um campo não-fechado, simplificando muito o cálculo do trabalho ao longo de um caminho triangular. Exemplo do uso do teorema de Green para calcular a área de uma região elíptica.
AT38
16 maio 2017, 16:00 • Roger Francis Picken
Integrais de trabalho, notação, revisão de propriedades gerais. Revisão dos campos gradientes, teorema fundamental. Exemplo de um campo em R^3, fechado, com o cálculo sistemático de um potencial escalar.
O campo "ralo de banheira", o aspeto deste campo, que é o exemplo primordial de um campo fechado mas não gradiente (no seu domínio completo R^2 menos a origem). Observação que o potencial fi igual a teta não é contínua no domínio completo. Observação que o trabalho do campo ao longo de qualquer caminho que faz uma volta à origem no sentido anti-horário é 2 pi (ou seja qualquer caminho que pode ser deformado continuamente numa circunferência centrada na origem).
Três noções cada vez mais abrangentes de domínios "sem buraco": 1) domínios convexos; 2) domínios em estrela; 3) domínios simplesmente conexos (com exemplos). Menção do teorema que diz que um campo fechado, definido num domínio D de qualquer um destes três tipos, é um campo gradiente nesse domínio (ou seja, permite afirmar que o campo é gradiente, sem calcular um potencial escalar explicitamente).
AT37
15 maio 2017, 13:00 • Roger Francis Picken
Revisão do cálculo direto do integral de trabalho para um campo vetorial f ao longo de um caminho C parametrizado por g. Exemplo com o campo f(x,y) = (y,x) ao longo de um caminho. Outro exemplo com o mesmo campo ao longo de um segmento de reta (ilustrando também um procedimento sistemático para parametrizar esse tipo de caminho). A previsão do resultado do cálculo direto deve-se ao teorema fundamental dos integrais de trabalho para campo gradientes. Campos conservativos. Demonstração do teorema. Caminhos fechados (ponto inicial = ponto final).
Como detetar campos gradientes/não-gradientes? 1) por inspeção (em muitos casos é fácil encontrar um potencial escalar); propriedade: um campo gradiente de classe C^1 é um campo fechado. Portanto o campo f ser fechado é uma condição necessária para f ser gradiente; 2) um campo radial é gradiente.
Exemplo de um campo especial ("ralo de banheira"), que pode ser gradiente ou não-gradiente, dependendo do domínio. Cálculos que ilustram essa afirmação (tema a prosseguir na aula seguinte).