Sumários
AT24
5 abril 2017, 13:00 • Roger Francis Picken
Revisão das mudanças de coordenadas mais frequentes (para coordenadas polares em R^2, ou coordenadas cilíndricas ou esféricas em R^3). Modificações destas mudanças de coordenadas: coordenadas cilíndricas adaptadas para o eixo de simetria Ox em vez de Oz; coordenadas polares quando o centro é diferente da origem; adaptação das coordenadas polares para elipses em vez de circunferências. Exemplo de uma mudança de coordenadas linear em R^2, simplificando o cálculo de um integral duplo. Interpretação geométrica do fator módulo do determinante de Dg para este exemplo.
AT23
4 abril 2017, 16:00 • Roger Francis Picken
Mudanças de coordenadas, revisão e discussão de um exemplo com uma mudança para coordenadas polares. Discussão do TPC, o cálculo do momento de inércia de um sólido, passando para coordenadas cilíndricas através do esboço dos cortes teta = constante (todos iguais devido à simetria), e o esboço da projeção no plano Oxy, perpendicular ao eixo da simetria. Várias modificações deste exemplo, que implicam uma alteração do intervalo para teta, ou uma alteração no aspeto dos cortes teta= constante. As duas ordens de integração possíveis para descrever os cortes teta = constante. Mudanças de coordenadas para coordenadas esféricas. Exemplo onde esta mudança resulta num integral ainda mais conveniente do que o integral obtido mudando para coordenadas cilíndricas. TPC: calcular o volume da bola 3D de raio R.
AT22
3 abril 2017, 13:00 • Roger Francis Picken
Mini-resumo das abordagens principais (cortes, projeção) para os integrais triplos. Mudanças de coordenadas / substituições em integrais múltiplos, o exemplo de uma placa 2D com forma meio-circular. Discussão do TPC: o cálculo da coordenada y do seu centróide. A coordenada x do centróide é 0 usando argumentos de simetria. Discussão intuitiva sobre o fator extra r que aparece na mudança de coordenadas para coordenadas polares. Definição de uma (função) mudança de coordenadas g em R^n. Exemplos com n=1, e o exemplo das coordenadas polares em termos desta definição. O teorema sobre as mudanças de coordenadas em integrais múltiplos. A interpretação geométrica do fator "módulo do determinante de Dg" para n=2 (área de um paralelograma). Exemplo que ilustra a necessidade do módulo. Primeiro exemplo de uma mudança de coordenadas em R^3 (cálculo do momento de inércia de um sólido). Conclusão do cálculo deixada como TPC.