Sumários
AT5
1 março 2017, 13:00 • Roger Francis Picken
Revisão das duas estratégias indicadas para mostrar 1) a não-existência
do limite (usando limites relativos), 2) a
existência do limite (usando a definição ou o critério de majoração). Indicações dadas
pelo grau do númerador e do denominador para funções racionais. Exemplos em
que os graus não são conclusivos (o TPC e uma questão do teste de 30/1/2017). Adaptação dos métodos para 1) o limite na origem de uma função de três variáveis; 2) o limite num ponto diferente da origem de R^2.
Propriedades
algébricas dos limites sob adição, multiplicação, divisão e composição
de funcões. Exemplo. Uso destas propriedades para justificar a
continuidade no seu domínio de funções obtidas a partir de funções
contínuas usando essas operações algébricas. Exemplo. Para funções com valores em R^m, a existência do limite num ponto, e a continuidade num ponto ou no domínio da função, são equivalentes às propriedades correspondentes para todas as funções coordenadas.
Aula Prática 1
24 fevereiro 2017, 14:00 • Catarina Vilar Campos de Carvalho
Ficha 1: Esboço de conjuntos
AT4
24 fevereiro 2017, 13:00 • Roger Francis Picken
Revisão do uso de limites relativos a subconjuntos para mostrar a
não-existência de um limite. O problema do TPC resolvido com limites relativos a retas y=mx.
Definição da existência
do limite de uma função f num ponto a, e da continuidade de f no ponto a (quando a pertence ao domínio de f). Definição do limite relativo a um subconjunto, com a propriedade óbvia que quando o limite de f é igual a c, o limite relativo a qualquer subconjunto também é igual a c. Assim, havendo dois limites relativos com valor diferente, o limite em si não existe.
Observação que a igualdade de todos os limites relativos a retas y=mx
não implica a existência do limite. Exemplo onde os limites relativos a
retas y=mx são todos iguais, mas os limites relativos a uma classe de
parábolas x=ky^2 variam com k, o que implica a não-existência do limite.
Para provar a existência do limite pode-se recorrer à definição, por exemplo para mostrar que o limite da função f(x,y) = x, quando (x, y) tende
para (a,b), existe (o que implica que esta função é contínua em todos os pontos de R^2 - um exemplo de "continuidade num domínio"). Para provar a existência do limite num ponto, uma abordagem é através do critério de majoração (uma
condição suficiente, mas não necessária). Exemplo do uso deste critério, e exercício deixado como TPC.