Sumários
AT47
31 maio 2017, 13:00 • Roger Francis Picken
Revisão breve das 3 abordagens possíveis para calcular um fluxo (pela definição, pelo teorema da divergência, ou pelo teorema de Stokes quando f=rot(A)). Observação que a condição div(f)=0 é necessária para ter f=rot(A), mas não suficiente (exemplo: o campo radial de quadrado inverso). Observação que o domínio de f tem de ser "sem buracos" para permitir a implicação: div(f)=0 implica f=rot(S). Discussão das noções diferentes de "sem buracos" para efeitos de integrais de trabalho e para efeitos de integrais de fluxo, incluindo a definição de domínio simplesmente conexo, agora formulada usando a linguagem de caminhos homotópicos. Referência breve ao 1º e 2º grupo de homotopia.
Demonstração do teorema: div(f)=0 num domínio em estrela implica que f=rot(A) nesse domínio. Discussão da ideia da demonstração do teorema de Stokes (para mais pormenores, veja pág. 364-7 do livro de G. Pires). (Fim da matéria; na 6ª feira haverá revisões.)
AT46
30 maio 2017, 16:00 • Roger Francis Picken
O teorema de Stokes e revisão das situações já vistas onde é usado: 1) para calcular o fluxo de f = rot(A), com A dado, 2) para calcular o trabalho de f ao longo de uma linha fechada, introduzindo uma superfície e calculando o fluxo de rot(f) pela superfície, 3) propriedades para trabalhos quando f é fechado que são consequência do teorema.
Discussão e exemplo de uma situação nova: o cálculo do fluxo de f através de S pelo teorema de Stokes (Exc 13.4.2 do livro de Prof. Gabriel Pires). A condição necessária para isto ser possível é div(f)=0. Admitindo que é possível, resolução do sistema de EDP, facilitada pela possibilidade de escolher uma das componentes de A igual a 0. Comparação entre escolhas que diferem da escolha feita no livro. Conclusão da resolução e discussão sobre a liberdade na escolha do potencial vetorial: pode-se sempre somar um campo fechado ao potencial sem alterar o resultado.
AT45
29 maio 2017, 13:00 • Roger Francis Picken
Revisão: a analogia entre o teorema de Stokes para uma superfície S com duas componentes da fronteira, e o teorema fundamental dos integrais de trabalho para uma linha com ponto inicial diferente do ponto final. Uma outra perspetiva: o teorema de Stokes para uma superfície contida no plano Oxy reduz-se ao teorema de Green (para o potencial vetorial A), ou seja Stokes para f=rot(A) generaliza Green para A. Exemplo do cálculo de um trabalho ao longo de um caminho retangular em R^3, através da introdução de uma superfície apropriada e a aplicação do teorema de Stokes. Observação que o teorema de Stokes, aplicado a um campo fechado mas não gradiente, em R^3 (do tipo "ralo da banheira") permite deduzir que dois integrais de trabalho ao longo de caminhos que podem ser ligados por uma superfície, têm o mesmo valor.
A noção de dois caminhos homotópicos. Teorema: para um campo fechado o trabalho ao longo de dois caminhos homotópicos é igual (com sugestão para a demonstração, deixada como exercício).