Sumários

Aula 25

24 Junho 2022, 08:30 Pedro Resende

Elementos irredutíveis e elementos primos de um domínio integral. Equivalência destas noções em DIPs. Exemplo de anel no qual as duas noções não coincidem: Z[sqrt(–5)]. Domínios de factorização única (DFUs). Teorema: Qualquer DIP é um DFU. Exemplos de anel que é um DFU mas não um DIP: Z[x]. Equivalência entre elementos primos e elementos irredutíveis em UFDs. Exemplo de domínio integral que não é um DFU:  Z[sqrt(–5)]. Exemplo de anel que é um DIP mas não um domínio Euclidiano (sem demonstração): o anel de inteiros quadráticos Z[w] com w igual a (1+sqrt(–19))/2.

Bibliografia e exercícios: Dummit e Foote, secção 8.3; ou este resumo.


Aula 24

22 Junho 2022, 08:00 Pedro Resende

Unicidade do máximo divisor comum em domínios integrais. Domínios de Bezout. Algoritmo de Euclides. Normas e domínios Euclidianos (DEs). Domínios de ideais principais (DIPs). Ideais primos de DIPs (ideais primos não nulos são maximais). Anéis de polinómios que são DIPs (R[x] é DIP sse é DE sse R é corpo). Anéis de inteiros quadráticos. Algoritmo de divisão do anel dos inteiros Gaussianos Z[i].

Bibliografia e exercícios: Dummit&Foote, secções 8.1 e 8.2 até à página 281 (excluindo o material sobre normas de Dedekind–Hasse); para anéis de inteiros quadráticos ver secção 7.1, nomeadamente o exemplo (5) da página 227 e o exemplo das páginas 229 e 230.


Aula 23

17 Junho 2022, 08:30 Pedro Resende

Divisibilidade em Z versus inclusão de ideais. Máximo divisor comum e lema de Bezout. Caracterização de corpos por meio de ideais. Ideais maximais e ideais primos, e sua relação com corpos e com domínios integrais. Exemplos em Z, Z[x], R^[0,1] e C([0,1], R). Ideais co-maximais. Teorema chinês do resto. Derivação das propriedades da função de Euler. Divisibilidade e máximo divisor em anéis comutativos arbitrários. Evaporação dos últimos 20 minutos de aula devido a um simulacro de incêndio que correu mal.

Bibliografia e exercícios: Dummit e Foote, secções 7.4 e 7.6.


Aula 22

15 Junho 2022, 08:00 Pedro Resende

Teste 4 de avaliação contínua. Teoremas de isomorfismo 2, 3 e 4 para anéis. Ideais (esquerdos, direitos, e bilaterais) gerados por um subconjunto de um anel. Ideais principais e relação de divisibilidade num anel.

Bibliografia e exercícios: Dummit&Foote, secções 7.3 e 7.4.


Aula 21

8 Junho 2022, 08:00 Pedro Resende

Ideais de anéis (à esquerda, à direita, e bilaterais). Quociente de um anel por um ideal. Propriedade universal do quociente. Primeiro teorema de isomorfismo para anéis. Reticulado de subgrupos aditivos de um anel. Álgebra de subgrupos. Reticulados de ideais (à esquerda, à direita e bilaterais). Ideal (X) gerado por um subconjunto X de um anel.

Bibliografia e exercícios: Dummit&Foote, secção 7.3 até à página 245 e 7.4 (definição da página 251).