Sumários

Aula 10

8 abril 2022, 08:30 • Pedro Resende

Resolução de exercícios sobre subgrupos: 6 e 13 da secção 2.1 do livro; 6 da secção 2.2. Grupos e subgrupos cíclicos. Classificação dos grupos cíclicos. Fórmula para a ordem de uma potência de um gerador cíclico.

Bibliografia: Dummit e Foote, secção 2.3 (até à Prop. 5, inclusive).
Exercícios recomendados: das secções 2.1 e 2.2.

Aula 9

6 abril 2022, 08:00 • Pedro Resende

Critério de subgrupo. Critério de subgrupo finito. Exercício 10 da secção 2.1 (intersecções de subgrupos). Centralizador de um subconjunto de um grupo. Centro de um grupo. Exemplos, incluindo: centralizador de A={1,r,r 2,r 3} em D 8 é A, e centralizador de {1, (1 2)} em S 3 é {1, (1 2 )}, aplicando o teorema de Lagrange. Centralizadores como intersecções de estabilizadores da acção por conjugação de um grupo nele próprio. Normalizador de um subconjunto de um grupo. Normalizadores como estabilizadores da acção por conjugação de um grupo no conjunto das partes dele próprio. Exemplo: normalizador de A em D 8 é D 8.

Bibliografia: Dummit e Foote, secções 2.1 e 2.2.
Exercícios recomendados: os dessas duas secções.

Aula 8

1 abril 2022, 08:30 • Pedro Resende

Acção regular à esquerda de um grupo. Teorema de Cayley. Núcleo de uma acção. Estabilizadores. Acção por conjugação. Conjugação como automorfismo de um grupo. Órbitas. Teorema de Lagrange. Exercícios da secção 1.7 do livro de Dummit e Foote: 3–4, 14–19.

Bibliografia: Dummit e Foote, secção 1.7 (para o enunciado do Teorema de Cayley ver o Corolário 4 na secção 4.2).
Exercícios recomendados: Dummit e Foote, secção 1.7.

Aula 7

30 março 2022, 08:00 • Pedro Resende

Teste 1 de avaliação contínua. Acções de monóides e acções de grupos. Representação de uma acção de um monóide por endofunções. Representação de uma acção de um grupo por permutações. Exemplos, incluindo: a acção de R sobre R 3 (trajectória de uma partícula no espaço); a acção do monóide multiplicativo de um corpo F sobre um espaço vectorial (sobre F); a acção de D 2n em {1,...,n} por permutações, a acção trivial; e a acção "tautológica" de S A sobre A. Acções fiéis.

Bibliografia: Dummit e Foote, secção 1.7.

Aula 6

25 março 2022, 08:30 • Pedro Resende

Exercícios do livro de Dummit e Foote:

  • Secção 1.2 — 7
  • Secção 1.3 — 14, 18
  • Secção 1.6 — 4, 5, 6, 13, 14, 25b
E ainda:
  • Mostrar que a pré-imagem de um subgrupo é um subgrupo.
  • Mostrar que um homomorfismo de grupos é injectivo se e só se o seu núcleo for trivial.