Sumários
Aula 20
3 junho 2022, 08:30 • Pedro Resende
Domínios integrais. Domínios integrais finitos são os corpos finitos. Anéis de fracções. Corpo de fracções de um domínio integral. Mais exemplos de anéis: anéis de polinómios; anéis de matrizes; anéis de grupos finitos.
Aula 19
1 junho 2022, 08:00 • Pedro Resende
Introdução à teoria de anéis. Definições e propriedades básicas. Elementos invertíveis e divisores de zero. Corpos e anéis de divisão. Exemplos, incluindo os inteiros e inteiros módulo n, o anel de divisão dos quaterniões, anéis de matrizes, anéis de funções, extensões do corpo dos racionais.
Aula 18
27 maio 2022, 08:30 • Pedro Resende
Apresentação de uma construção do grupo livre F(X) como grupo quociente do monóide involutivo livremente gerado por X (o qual coincide com o monóide livre do "conjunto involutivo" livremente gerado por X). Exemplos para ilustrar o significado da existência e da unicidade do homomorfismo único dado pela propriedade universal do grupo livre. Grupos apresentados por geradores e relações. Demonstração da "receita" dada no início do semestre para definir homomorfismos cujo domínio é um grupo apresentado por geradores e relações. Grupos abelianos livres. Comparação com espaços vectoriais. Enunciado do Teorema Fundamental dos Grupos Abelianos (classificação dos grupos abelianos finitamente gerados por meio de factores invariantes). Exemplos.
Aula 17
25 maio 2022, 08:00 • Pedro Resende
Teste 3 de avaliação contínua. Introdução ao conceito de grupo livre. Geradores e palavras geradas pelos geradores. Propriedade universal do grupo F(X) livremente gerado por um conjunto X. Demonstração de que dois grupos com a mesma propriedade universal são isomorfos. Definição de monóide involutivo e do grupo quociente de um monóide involutivo.
Aula 16
20 maio 2022, 08:30 • Pedro Resende
Teorema de isomorfismo 2. Fórmula de contagem para produtos de subgrupos (Proposição 13 da secção 3.2). Teorema de isomorfismo 3. Isomorfismos de ordem. Teorema de isomorfismo 4. Exemplo com Sub(D 8).