Para a transformação linear T de R ⁿ para R  ^m temos a seguinte caraterização quanto à inventividade/sobrejetividade:

i) T é injetiva sse T( x)= 0 só tem solução trivial (teorema da unicidade);

Se A é a matriz canónica (standard matrix), então:

ii) T é sobrejetiva sse Col A=  R  ^m;

iii) T é injetiva sse as colunas de A são L.I. 

 
Consequências: toda a multiplicação por uma matriz é uma transformação linear, toda a combinação linear é transformada numa combinação linear dos transformados com os mesmos coeficientes, o vetor nulo do domínio é transformado no vetor nulo do contra-domínio (espaço de chegada).   

Teorema da matriz canónica de uma transformação linear: a matriz que representa a transformação linear T de R ⁿ para R  ^m é a matriz A que tem em coluna os transformados por T dos vetores canónicos  de R ⁿ (i.e. das colunas da matriz I _n):                                 A =[ T(  e ₁)   T(  e ₂)   ...  T(  e _n)  ]