Dada uma função f:[0,+\infty[ --> R, a transformada de Laplace de f é a função F(s)=\int_0^+\infty e^{-st}f(t)dt, definida quando o integral existe.

Escreve-se L(f) ou F para a transformada de Laplace da função f. 

Exemplos: 1. L(1) = 1/s definida para s>0.

2. L(e^{at})=1/(s-a) definida para s>a.

3. L(cos wt) =s/(s^2+w^2) ;  L(sen wt)=w/(s^2+w^2)  definidas para s>0.

Prop: Se existem constantes M e c tais que |f(t)<=Me^{ct}, a transformada de Laplace F(s) está definida para s>-c.

A transformada de Laplace é uma aplicação injectiva: L(f)=L(g) implica que f=g. Portanto não perde nenhuma informação sobre a função f e serve como um dicionário entre funções de t e funções de s.

Prop: L(f')(s)=sF(s)-f(0)

Aplicando repetidamente a proposição anterior vemos que L(f^{(n)})=s^nF(s)-s^{n-1}f(0)-...-f^{(n-1)}(0).

Exemplos: Resolução de equações do género y'-3y=e^t e y''-y=cos t usando a transformada de Laplace.

Dada uma função f:[0,+\infty[ --> R, a transformada de Laplace de f é a função F(s)=\int_0^+\infty e^{-st}f(t)dt, definida quando o integral existe.

Escreve-se L(f) ou F para a transformada de Laplace da função f. 

Exemplos: 1. L(1) = 1/s definida para s>0.

2. L(e^{at})=1/(s-a) definida para s>a.

3. L(cos wt) =s/(s^2+w^2) ;  L(sen wt)=w/(s^2+w^2)  definidas para s>0.

Prop: Se existem constantes M e c tais que |f(t)<=Me^{ct}, a transformada de Laplace F(s) está definida para s>-c.

A transformada de Laplace é uma aplicação injectiva: L(f)=L(g) implica que f=g. Portanto não perde nenhuma informação sobre a função f e serve como um dicionário entre funções de t e funções de s.

Prop: L(f')(s)=sF(s)-f(0)

Aplicando repetidamente a proposição anterior vemos que L(f^{(n)})=s^nF(s)-s^{n-1}f(0)-...-f^{(n-1)}(0).

Exemplos: Resolução de equações do género y'-3y=e^t e y''-y=cos t usando a transformada de Laplace.