Revisões de séries. Séries de potências.

18 outubro 2012, 13:00 • Gustavo Granja

Definição de série. Uma série complexa \sum a_n converge sse as séries reais formada pelas partes real e imaginária dos a_n's converge.

Propriedades básicas:

1. Se \sum a_n < \infty então o termo geral a_n tende para 0.

2. Se \sum |a_n| <\infty (diz-se que \sum a_n converge absolutamente) então \sum a_n converge.

3. Critério da comparação: Se |a_n|<= b_n e \sum b_n converge, então \sum a_n converge.

4. \sum 1/n^\alpha converge sse \alpha>1

5. \sum r^n converge sse |r|<1 e nesse caso a soma \e 1/(1-r).

6. Critério da razão. Se o limite de |a_{n+1}|/|a_n| existe e é menor que 1, a série \sum a_n converge.

Exemplos: \sum e^{in}/n^2+in converge; \sum z^n/n^4 converge sse |z|<=1.

Definição: Uma série de potências é uma série da forma \sum a_n(z-z_0)^n. O raio de vonvergência da série é R=1/ \lim sup  raíz indíce n de |a_n|.

Teorema: Uma série de potências converge para |z-z_0|<R e a função definida pela série nessa região é analítica.

Teorema de  Taylor: Se f:U --> C é analítica (U aberto) e o disco |z-z_0|<R está contido em U, então existem a_n em C únicos tais que f(z) = \sum a_n(z-z_0)^n. Além disso, a_n = f^{(n)}(z_0)/ n!

Exemplo: 1. O desenvolvimento em série de Taylor de e^z.

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18 outubro 2012, 10:00 • Luis Filipe Serrazes Ventura de Barros Pessoa

Resolução de problemas da Ficha de Trabalho 5.

Aplicações do Teorema e Fórmulas de Cauchy

17 outubro 2012, 12:30 • Gustavo Granja

Dedução do Teorema de Cauchy no caso em que f(z) é de classe C^1 a partir do Teorema de Green. 

Dedução da Fórmula integral de Cauchy a partir do Teorema de Cauchy.

As fórmulas integrais de Cauchy deduzem-se da fórmula de Cauchy derivando em ordem a z_0 o integral.

Aplicações do Teorema e Fórmulas de Cauchy.

1. Teorema de Liouville: Uma função inteira limitada é constante. (A demonstração é um exercício da ficha 5)

2. Teorema Fundamental da Algebra: Todo o polinómio complexo tem pelo menos uma raíz. Dedução deste resultado a partir do teorema de Liouville.

Revisões de séries. Séries de potências.

17 outubro 2012, 09:00 • Gustavo Granja

Definição de série. Uma série complexa \sum a_n converge sse as séries reais formada pelas partes real e imaginária dos a_n's converge.

Propriedades básicas:

1. Se \sum a_n < \infty então o termo geral a_n tende para 0.

2. Se \sum |a_n| <\infty (diz-se que \sum a_n converge absolutamente) então \sum a_n converge.

3. Critério da comparação: Se |a_n|<= b_n e \sum b_n converge, então \sum a_n converge.

4. \sum 1/n^\alpha converge sse \alpha>1

5. \sum r^n converge sse |r|<1 e nesse caso a soma \e 1/(1-r).

6. Critério da razão. Se o limite de |a_{n+1}|/|a_n| existe e é menor que 1, a série \sum a_n converge.

Exemplos: \sum e^{in}/n^2+in converge; \sum z^n/n^4 converge sse |z|<=1.

Definição: Uma série de potências é uma série da forma \sum a_n(z-z_0)^n. O raio de vonvergência da série é R=1/ \lim sup  raíz indíce n de |a_n|.

Teorema: Uma série de potências converge para |z-z_0|<R e a função definida pela série nessa região é analítica.

Teorema de  Taylor: Se f:U --> C é analítica (U aberto) e o disco |z-z_0|<R está contido em U, então existem a_n em C únicos tais que f(z) = \sum a_n(z-z_0)^n. Além disso, a_n = f^{(n)}(z_0)/ n!

Exemplos: 1. O desenvolvimento em série de Taylor de e^z.

2. O desenvolvimento em série de Taylor em torno da origem para 1/1-z.

Aplicações do Teorema e Fórmulas de Cauchy

16 outubro 2012, 13:00 • Gustavo Granja

Dedução do Teorema de Cauchy no caso em que f(z) é de classe C^1 a partir do Teorema de Green. 

Dedução da Fórmula integral de Cauchy a partir do Teorema de Cauchy.

As fórmulas integrais de Cauchy deduzem-se da fórmula de Cauchy derivando em ordem a z_0 o integral.

Aplicações do Teorema e Fórmulas de Cauchy.

1. Teorema de Liouville: Uma função inteira limitada é constante. (A demonstração é um exercício da ficha 5)

2. Teorema Fundamental da Algebra: Todo o polinómio complexo tem pelo menos uma raíz. Dedução deste resultado a partir do teorema de Liouville.