Representação trigonométrica dos complexos

18 setembro 2012, 13:00 • Gustavo Granja

Mais propriedades do conjugado e do módulo: o conjugado preserva o produto e a soma, |zw|=|z||w|, |z+w|<=|z|+|w| e ||z|-|w||<=|z+w|.

Representação trigonométrica ou polar de um número complexo:

x+iy = r(cos \theta + i sen \theta)

Notação: e^{i\theta} = cos \theta + i sen \theta (passa a ser esta a notação para cis \theta). Portanto um número complexo em forma polar escreve-se r e^{i\theta}.

Fórmula de Euler: e^{i\pi} = -1.

Note-se que r=|x+iy|. \theta chama-se o argumento de x+iy e só está definido a menos de um múltiplo de 2\pi. Escrevemos Arg(z) para o conjunto dos argumentos do número complexo z. O argumento principal de z é o único elemento de Arg(z) que está no intervalo ]-\pi,\pi].

Exemplos: 1+i, i, 2+3i (ou algo do género).

Fórmula para o produto na forma trigonométrica: r e^{i\theta} s e^{i\phi} = (rs) e^{i (\theta+\phi)} (isto é os módulos multiplicam-se e os argumentos somam-se).

Fórmula para exponenciação: (re^{i\theta})^n = r^n e^{in\theta}. Um caso particular é a fórmula de DeMoivre (cos \theta+ i sen \theta)^n = cos(n\theta) + i sen(n\theta).

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18 setembro 2012, 10:00 • Luis Filipe Serrazes Ventura de Barros Pessoa

Resolução de problemas da Ficha de Trabalho 1.

Apresentação. Revisões sobre números complexos

17 setembro 2012, 12:30 • Gustavo Granja

Breve introdução à matéria da cadeira. Descrição do funcionamento da cadeira e do método de avaliação.

Bibliografia recomendada: Análise Complexa e Equações Diferenciais, L. Barreira (IST Press) e o livro de Exercícios associado (de Barreira e Cláudia Valls, também da IST Press).

Notação para números complexos. Partes real e imaginária. Conjugado e módulo. z vezes o seu conjugado é o módulo ao quadrado. Fórmula para o inverso multiplicativo de um complexo não nulo.

Apresentação. Revisões sobre números complexos

17 setembro 2012, 09:30 • Gustavo Granja

Breve introdução à matéria da cadeira. Descrição do funcionamento da cadeira e do método de avaliação.

Bibliografia recomendada: Análise Complexa e Equações Diferenciais, L. Barreira (IST Press) e o livro de Exercícios associado (de Barreira e Cláudia Valls, também da IST Press).

Notação para números complexos. Partes real e imaginária. Conjugado e módulo. z vezes o seu conjugado é o módulo ao quadrado. Fórmula para o inverso multiplicativo de um complexo não nulo.