Definição de equação diferencial (é uma equação em que a incógnita é a função e em que a igualdade envolve derivadas da incógnita). Equações diferenciais ordinárias (EDO) e parciais (EDP). Exemplos.

Já sabemos resolver EDOs da forma (*) dy/dt = a(t).

Mesmo neste exemplo simples vemos que em geral uma equação diferencial ordinária tem infinitas soluções e que em geral não é possível explicitar a solução.

Se fixarmos o valor da solução y(t) para t=t_0 então tipicamente obtemos uma única solução. Um problema da forma 

dy/dt= f(t,y) 

y(t_0)=y_0

chama-se um problema de valor inicial.

Exemplo

Métodos elementares de resolução de EDOS: A ideia é sempre reduzir a equação em questão a (*)

(i) EDOs lineares homogéneas (de primeira ordem, escalares):

São equações da forma dy/dy = a(t) y. Dividindo por y dos dois lados reduz-se a equação a uma da forma (*).

Exemplo: Resolução do problema de valor inicial dy/dt=(sen t) y ; y(0)=1.

(ii) EDOs lineares (de primeira ordem escalares):

São equações da forma dy/dt = a(t) y + b(t). Reduzem-se à forma (*) multiplicando a equação por e^{-A(t)} onde A(t) é uma primitiva de a(t).

Exemplo: Determinação da solução geral de dy/dt + ty =3t (ou algo do género).

Mudanças de variável: Exemplo de uma equação que se reduz a uma equação linear através de uma mudança de variável.

Definição de equação diferencial (é uma equação em que a incógnita é a função e em que a igualdade envolve derivadas da incógnita). Equações diferenciais ordinárias (EDO) e parciais (EDP). Exemplos.

Já sabemos resolver EDOs da forma (*) dy/dt = a(t).

Mesmo neste exemplo simples vemos que em geral uma equação diferencial ordinária tem infinitas soluções e que em geral não é possível explicitar a solução.

Se fixarmos o valor da solução y(t) para t=t_0 então tipicamente obtemos uma única solução. Um problema da forma 

dy/dt= f(t,y) 

y(t_0)=y_0

chama-se um problema de valor inicial.

Exemplo

Métodos elementares de resolução de EDOS: A ideia é sempre reduzir a equação em questão a (*)

(i) EDOs lineares homogéneas (de primeira ordem, escalares):

São equações da forma dy/dy = a(t) y. Dividindo por y dos dois lados reduz-se a equação a uma da forma (*).

Exemplo: Resolução do problema de valor inicial dy/dt=(sen t) y ; y(0)=1.

(ii) EDOs lineares (de primeira ordem escalares):

São equações da forma dy/dt = a(t) y + b(t). Reduzem-se à forma (*) multiplicando a equação por e^{-A(t)} onde A(t) é uma primitiva de a(t).

Exemplo: Determinação da solução geral de dy/dt + ty =3t (ou algo do género).

Mudanças de variável: Exemplo de uma equação que se reduz a uma equação linear através de uma mudança de variável.