Sumários

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21 novembro 2022, 08:00 • João Paulo Neves Monteiro dos Santos

Relações de equivalência. Exemplo: espaço projectivo. Quocientes. A topologia quociente. Abertos saturados. O espaço projectivo é T2.  Funções quociente. Propriedade universal.  Caracterização de funções quocientes f:X->Y em termos do homeomorfismo induzido X/ ~ -> Y Funções contínuas sobrejectivas dum espaço compacto para um espaço T2 são quocientes. Exemplos: S 1. Exercícios: secção 20 #4,9abcd

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2 novembro 2022, 08:00 • João Paulo Neves Monteiro dos Santos

O Teorema de Baire. Aplicações: R não é contável; existência de funções contínuas não monótonas em nenhum intervalo. Exercícios: secção 18 #10,12,14; secção 19 #1

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31 outubro 2022, 08:00 • João Paulo Neves Monteiro dos Santos

O espaço das funções contínuas: topologias produto e da convergência uniforme em compactos. Equicontinuidade. Teorema de Ascoli-Arzela. Exercícios: secção 16 #1 a 4, 11a, secção 18 #3, 9

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26 outubro 2022, 08:00 • João Paulo Neves Monteiro dos Santos

Sublimites e subsucessões convergentes. Funções uniformemente contínuas. Continuidade implica continuidade uniforme num compacto. Continuidade uniforme preserva sucessões de Cauchy. Existência de prolongamentos de funções uniformemente contínuas. Funções de Lipschitz. Exercícios: Secção 11 #24, secção 14 #2, 6

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25 outubro 2022, 10:00 • João Paulo Neves Monteiro dos Santos

Espaços sequencialmente compactos. Lema do número de Lebesgue. Espaços totalmente limitados Um espaço métrico é compacto sse for sequencialmente compacto sse for completo e totalmente limitado. Exemplo: [0,9] R .