Programa

Tópicos de Teoria de Operadores

Diploma de Estudos Avançados em Matemática

Programa

(i) Problemas de Riemann-Hilbert [RHP]: 1. Problemas de Riemann-Hilbert (PRH): PRH escalares e matriciais. Exemplos motivados por aplicações. 2. Breve revisão de alguns resultados de Análise Funcional: operadores lineares limitados em espaços de Banach; operadores compactos; operadores de Fredholm; regularizadores; o operador integral singular de Cauchy em espaços Lp. 3. Espaços de funções analíticas no disco e no semi-plano: as projecções de Riesz e os espaços de Hardy; factorização inner-outer. 4. O método de Riemann-Hilbert: métodos de resolução explícita de várias classes PRH escalares e vectoriais. 5. Aplicações em matemática pura e aplicada: 5.1 Factorização de Wiener-Hopf de funções escalares e matriciais via PRH: teoremas gerais da factorização; factorização de funções contínuas e seccionalmente contínuas. Factorização meromorfa. 5.2 PRH matriciais e o teorema da coroa: Problemas da coroa clássicos e meromorfos; aplicações ao estudo do espectro de operadores de Toeplitz. 5.3 Apresentação e discussão de alguns resultados recentes em Física Matemática, nomeadamente no estudo de sistemas integráveis, com base em artigos tratando tópicos de investigação. (ii) Operadores de Toeplitz [TO]: 1. Operadores de Fredholm e álgebra de Calkin: Operadores normalmente solúveis. Caracterização dos operadores de Fredholm. Perturbação de operadores de Fredholm e propriedades do índice. Operadores de semi-Fredholm e inversão generalizada de operadores. 2. O operador integral singular de Cauchy: Perspectiva clássica e o operador integral singular de Cauchy em espaços de Lebesgue. Principais propriedades. Generalização a espaços com peso e a sistemas de curvas. Os operadores de projecção de Cauchy em Lp. O transposto do operador integral singular de Cauchy. 3. Operadores de Toeplitz e a teoria da factorização: Conceito de factorização. Operador integral singular com coeficientes racionais. Operador de Toeplitz com símbolo contínuo. Factorização em álgebras de Banach decomponíveis Factorização generalizada de funções. Generalização dos resultados de factorização ao caso matricial. Factorização AP. 4. A teoria de Fredholm de operadores de Toeplitz. Princípio de localização. Introdução ao método das trajectórias locais. Construção de símbolos de Fredholm para operadores integrais singulares com deslocamento. Uma álgebra gerada por operadores de Toeplitz e Hankel. A localização em órbitas e a invertibilidade para classes de álgebras C* com operadores de deslocamento.