Programa/Syllabus

1 setembro 2018, 18:57 • Maria Cristina Carvalho de Aguiar Câmara

(i) Problemas de Riemann-Hilbert  

1. Problemas de Riemann-Hilbert (PRH): PRH escalares e matriciais. Exemplos motivados por aplicações à Fisica e à Engenharia.

2. Breve revisão de alguns resultados de Análise Funcional: operadores lineares limitados em espaços de Banach; operadores compactos; operadores de Fredholm; regularizadores; o operador integral singular de Cauchy em espaços Lp. 

3. Espaços de funções analíticas no disco e no semi-plano: as projecções de Riesz e os espaços de Hardy; factorização inner-outer. 

4. O método de Riemann-Hilbert: métodos de resolução explícita de várias classes PRH escalares e vectoriais. 

5. Aplicações em problemas de matemática pura e aplicada, física e engenharia.

5.1 Factorização de Wiener-Hopf de funções escalares e matriciais via PRH: teoremas gerais da factorização; factorização de funções contínuas e seccionalmente contínuas. Factorização meromorfa. 

5.2 PRH matriciais e o teorema da coroa: Problemas da coroa clássicos e meromorfos; aplicações ao estudo do espectro de operadores de Toeplitz. 

5.3 Apresentação e discussão de alguns resultados recentes, nomeadamente no estudo de sistemas integráveis, com base em artigos tratando tópicos de investigação.

(i) Riemann-Hilbert Problems

1. Riemann-Hilbert problems (RHP): scalar and vector RHP; matrix RHP. Examples motivated by applications in Physics and Engineering. 

2. Brief revision of some results from Functional Analysis: bounded linear operators in Banach spaces; compact operators; Fredholm operators; Cauchy’s singular operator in Lp spaces.

3. Spaces of analytic functions in the disk and in a half plane: the Riesz projections and Hardy spaces; inner-outer factorization. 

4. The Riemann-Hilbert method: explicit solutions to various classes of scalar and vectorial RHP. 

5. Applications in pure and applied mathematics, physics and engineering: 

5.1 Wiener-Hopf factorization of matrix functions via RHP: general factorization theorems; factorization of continuous and piecewise continuous functions. Meromorphic factorization. 

5.2 Matrix RHP and the corona theorem: classical and meromorphic corona problems; applications to the study of the spectra of Toeplitz operators. 

5.3 Introduction to recent advances in various topics, namely in integral systems, based on research papers.