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Programa/Syllabus

1 Setembro 2018, 18:57 Maria Cristina Carvalho de Aguiar Câmara

(i) Problemas de Riemann-Hilbert  

1. Problemas de Riemann-Hilbert (PRH): PRH escalares e matriciais. Exemplos motivados por aplicações à Fisica e à Engenharia.

2. Breve revisão de alguns resultados de Análise Funcional: operadores lineares limitados em espaços de Banach; operadores compactos; operadores de Fredholm; regularizadores; o operador integral singular de Cauchy em espaços Lp. 

3. Espaços de funções analíticas no disco e no semi-plano: as projecções de Riesz e os espaços de Hardy; factorização inner-outer. 

4. O método de Riemann-Hilbert: métodos de resolução explícita de várias classes PRH escalares e vectoriais. 

5. Aplicações em problemas de matemática pura e aplicada, física e engenharia.

5.1 Factorização de Wiener-Hopf de funções escalares e matriciais via PRH: teoremas gerais da factorização; factorização de funções contínuas e seccionalmente contínuas. Factorização meromorfa. 

5.2 PRH matriciais e o teorema da coroa: Problemas da coroa clássicos e meromorfos; aplicações ao estudo do espectro de operadores de Toeplitz. 

5.3 Apresentação e discussão de alguns resultados recentes, nomeadamente no estudo de sistemas integráveis, com base em artigos tratando tópicos de investigação.



(i) Riemann-Hilbert Problems

1. Riemann-Hilbert problems (RHP): scalar and vector RHP; matrix RHP. Examples motivated by applications in Physics and Engineering. 

2. Brief revision of some results from Functional Analysis: bounded linear operators in Banach spaces; compact operators; Fredholm operators; Cauchy’s singular operator in Lp spaces.

3. Spaces of analytic functions in the disk and in a half plane: the Riesz projections and Hardy spaces; inner-outer factorization. 

4. The Riemann-Hilbert method: explicit solutions to various classes of scalar and vectorial RHP. 

5. Applications in pure and applied mathematics, physics and engineering: 

5.1 Wiener-Hopf factorization of matrix functions via RHP: general factorization theorems; factorization of continuous and piecewise continuous functions. Meromorphic factorization. 

5.2 Matrix RHP and the corona theorem: classical and meromorphic corona problems; applications to the study of the spectra of Toeplitz operators. 

5.3 Introduction to recent advances in various topics, namely in integral systems, based on research papers.

Corpo Docente

Maria Cristina Carvalho de Aguiar Câmara

Responsavel

ccamara@math.ist.utl.pt